Resolva para u=u(x, y) :
u_{x x}=4 y^{2} u

Passo 1

O enunciado dá a equação
u_{xx} = 4y^2\,u
onde u=u(x,y). Note que essa relação envolve derivadas apenas em x, então podemos tratar y como parâmetro e resolver, para cada valor de y, uma EDO em x.

Passo 2

Escrevemos a EDO em x na forma padronizada
\frac{\partial^2u}{\partial x^2} - 4y^2\,u = 0.
Para resolver, usamos a equação característica associada
r^2 - 4y^2 = 0.

Passo 3

Da equação característica obtemos as raízes
r = \pm 2y.
Logo, a solução geral da EDO em x é
u(x,y) = C_1(y)\,e^{2yx} + C_2(y)\,e^{-2yx},
onde C_1 e C_2 são “constantes” de integração que, por dependerem de y, são funções arbitrárias de y.

Resposta

u(x,y) = C_1(y)\,e^{2yx} + C_2(y)\,e^{-2yx},
com C_1 e C_2 funções arbitrárias de y.

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