Resolva para u=u(x, y) :
u_{y}+u=e^{x y}

Passo 1

O enunciado dá a equação parcial
u_{y} + u = e^{x y},
que, para cada x fixo, é uma equação linear em y. Vamos tratá-la como uma EDO em y usando fator integrante.

Passo 2

Escrevemos no formato padrão
\frac{\partial u}{\partial y} + 1\cdot u = e^{x y}.
O fator integrante em função de y é
\mu(y) = \exp\Bigl(\int 1\,dy\Bigr) = e^{y}.

Passo 3

Multiplicando toda a equação por e^{y}, obtemos
e^{y}u_{y} + e^{y}u = e^{y}e^{x y} = e^{(x+1)y}.
O lado esquerdo é a derivada em y de e^{y}u, isto é,
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{y}u\bigr) = e^{(x+1)y}.

Passo 4

Integramos em y:
e^{y}u = \int e^{(x+1)y}\,dy + C(x) = \frac{1}{x+1}\,e^{(x+1)y} + C(x),
onde C(x) é uma função arbitrária de x.

Passo 5

Isolando u:
u(x,y) = \frac{1}{x+1}\,e^{(x+1)y - y} + C(x)\,e^{-y} = \frac{1}{x+1}\,e^{x y} + C(x)\,e^{-y}.

Resposta

u(x,y) = \frac{1}{x+1}\,e^{x y} + C(x)\,e^{-y},
em que C(x) é uma função arbitrária de x.

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