Resolva usando o fator integrante
para equações da forma
.
9.
9.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem usando o fator integrante
. A equação dada é
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O coeficiente de
é . - O termo independente é
. - A equação está definida para
(porque aparece ).
Passo 2
Lembrete do método do fator integrante (explicado passo a passo, sem pular etapas).
- A ideia é multiplicar a equação por uma função
tal que o lado esquerdo se torne a derivada de um produto . - Se escolhermos
satisfazendo , então
- A condição
é equivalente a
cuja solução é
Isso é o fator integrante que o enunciado indicou. Depois de multiplicar pela
apropriada, integra-se ambos os lados para obter
.
Passo 3
Calcular o fator integrante para
.
- Primeiro calculo a primitiva de
:
- Portanto
Observação sobre domínio: como a equação tem singularidade em
, trabalhamos separadamente em intervalos onde
ou
. Em ambos os casos podemos usar
quando
e
quando
. Como multiplicar por
não altera a equação resultante além de mudar a constante de integração, é habitual escolher
e declarar que a solução vale para
. A seguir uso
.
Passo 4
Multiplicar a equação por
e reescrever como derivada de produto.
- Multiplicando, obtemos
- Simplificando o termo do meio:
- Pelo motivo explicado no Passo 2, o lado esquerdo é a derivada do produto
:
Passo 5
Integrar ambos os lados para obter uma relação entre
e
.
- Integro em relação a
:
- O lado esquerdo integra para
e o direito para mais constante de integração :
onde
é uma constante arbitrária real.
- Agora, observando que estamos em
, pode-se dividir ambos os lados por para expressar em função de e da constante .
Passo 6
Verificação rápida (mostrar que a solução obtida realmente satisfaz a equação sem escrever a forma final aqui).
- A identidade obtida no Passo 5 é
. - Derivando ambos os lados em relação a
dá . - Reescrevendo
recupera-se exatamente , que é a equação multiplicada pelo fator integrante; dividindo por retorna a equação original . Isso confirma que a solução é correta para .
Passo 7
Interpretação final e dicas para a prova.
- A solução geral contém uma parte homogênea (associada à solução da equação homogênea
) e uma parte particular (uma solução explícita de toda a equação). A constante representa a liberdade da solução geral. - Atenção ao domínio: a solução é válida apenas para
. Em provas, sempre mencione isso quando o coeficiente tem singularidade. - Dica prática: ao calcular
escreva e lembre-se de que ; depois escolha o sinal conveniente (normalmente ) e avance, lembrando de anotar .