Resolva usando o fator integrante \mu(x)=e^{\int p(x) d x} para equações da forma y^{\prime}+ p(x) y=q(x).
9. y^{\prime}+\frac{1}{x} y=3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem usando o fator integrante \mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}. A equação dada é
y'+\frac{1}{x}y=3.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O coeficiente de y é p(x)=\dfrac{1}{x}.
  • O termo independente é q(x)=3.
  • A equação está definida para x\neq0 (porque aparece \dfrac{1}{x}).

Passo 2

Lembrete do método do fator integrante (explicado passo a passo, sem pular etapas).
  • A ideia é multiplicar a equação por uma função \mu(x) tal que o lado esquerdo se torne a derivada de um produto \big(\mu(x)\,y(x)\big)'.
  • Se escolhermos \mu satisfazendo \mu'(x)=\mu(x)\,p(x), então
\mu y' + \mu p\,y = (\mu y)'.
  • A condição \mu'(x)=\mu(x)\,p(x) é equivalente a
\frac{\mu'(x)}{\mu(x)} = p(x),
cuja solução é
\mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}.
Isso é o fator integrante que o enunciado indicou. Depois de multiplicar pela \mu apropriada, integra-se ambos os lados para obter \mu y.

Passo 3

Calcular o fator integrante para p(x)=\dfrac{1}{x}.
  • Primeiro calculo a primitiva de p(x):
\int p(x)\,dx=\int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|.
  • Portanto
\mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}=e^{\ln|x|}=|x|.
Observação sobre domínio: como a equação tem singularidade em x=0, trabalhamos separadamente em intervalos onde x>0 ou x<0. Em ambos os casos podemos usar \mu(x)=x quando x>0 e \mu(x)=-x quando x<0. Como multiplicar por -1 não altera a equação resultante além de mudar a constante de integração, é habitual escolher \mu(x)=x e declarar que a solução vale para x\neq0. A seguir uso \mu(x)=x.

Passo 4

Multiplicar a equação por \mu(x)=x e reescrever como derivada de produto.
  • Multiplicando, obtemos
x y' + x\cdot\frac{1}{x}y = x\cdot 3.
  • Simplificando o termo do meio:
x y' + y = 3x.
  • Pelo motivo explicado no Passo 2, o lado esquerdo é a derivada do produto x y:
(xy)' = 3x.

Passo 5

Integrar ambos os lados para obter uma relação entre x e y.
  • Integro em relação a x:
\int (xy)'\,dx = \int 3x\,dx.
  • O lado esquerdo integra para xy e o direito para \dfrac{3}{2}x^2 mais constante de integração C:
xy = \frac{3}{2}x^2 + C,
onde C é uma constante arbitrária real.
  • Agora, observando que estamos em x\neq0, pode-se dividir ambos os lados por x para expressar y em função de x e da constante C.

Passo 6

Verificação rápida (mostrar que a solução obtida realmente satisfaz a equação sem escrever a forma final aqui).
  • A identidade obtida no Passo 5 é xy=\dfrac{3}{2}x^2+C.
  • Derivando ambos os lados em relação a x (xy)'=3x.
  • Reescrevendo (xy)'=x y' + y recupera-se exatamente x y' + y = 3x, que é a equação multiplicada pelo fator integrante; dividindo por x retorna a equação original y'+\dfrac{1}{x}y=3. Isso confirma que a solução é correta para x\neq0.

Passo 7

Interpretação final e dicas para a prova.
  • A solução geral contém uma parte homogênea (associada à solução da equação homogênea y'+\tfrac{1}{x}y=0) e uma parte particular (uma solução explícita de toda a equação). A constante C representa a liberdade da solução geral.
  • Atenção ao domínio: a solução é válida apenas para x\neq0. Em provas, sempre mencione isso quando o coeficiente p(x) tem singularidade.
  • Dica prática: ao calcular \int \tfrac{1}{x}\,dx escreva \ln|x| e lembre-se de que \mu(x)=e^{\ln|x|}=|x|; depois escolha o sinal conveniente (normalmente \mu=x) e avance, lembrando de anotar x\neq0.

Resposta

\displaystyle y(x)=\frac{3}{2}\,x+\frac{C}{x}, para x\neq0

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