Resolva usando o fator integrante
para equações da forma
.
11.
11.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem usando o fator integrante
. A equação dada é
Informações que temos do enunciado:
- A equação está na forma
. - Aqui
e . - Queremos a solução geral
.
Passo 2
Lembrete do método (explicado passo a passo de forma didática).
- Para uma equação linear de primeira ordem
usa-se o fator integrante
- Multiplicando a equação por
obtemos
e o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
por causa da regra do produto:
e
quando
.
- Depois integramos ambos os lados e isolamos
.
Passo 3
Calcular o fator integrante para o nosso caso:
Ao formar
podemos ignorar a constante aditiva
porque
e um fator constante multiplicativo no integrador pode ser absorvido na constante de integração final. Então escolhemos
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
:
Pelo motivo explicado antes, o lado esquerdo é a derivada do produto
. Logo
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração geral. Para calcular a integral
use uma substituição simples: seja
, então
e
. Assim
Absorvendo
em
(já temos uma constante de integração), obtemos
Passo 6
Isolando
dividindo por
:
onde
é uma constante arbitrária real. Podemos fazer uma verificação rápida: derivando
obtemos
. Então
o que confirma que a solução está correta.