Resolva usando o fator integrante \mu(x)=e^{\int p(x) d x} para equações da forma y^{\prime}+ p(x) y=q(x).
11. y^{\prime}+2 x y=x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem usando o fator integrante \mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}. A equação dada é
y'+2xy=x.
Informações que temos do enunciado:
  • A equação está na forma y'+p(x)y=q(x).
  • Aqui \;p(x)=2x\; e \;q(x)=x\;.
  • Queremos a solução geral y(x).

Passo 2

Lembrete do método (explicado passo a passo de forma didática).
  • Para uma equação linear de primeira ordem \;y'+p(x)y=q(x)\; usa-se o fator integrante
\mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}.
  • Multiplicando a equação por \mu(x) obtemos
\mu(x)y'+\mu(x)p(x)y=\mu(x)q(x),
e o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto (\mu(x)y)' por causa da regra do produto: (\mu y)'=\mu' y+\mu y' e \mu'=\mu p quando \mu=e^{\int p}.
  • Depois integramos ambos os lados e isolamos y.

Passo 3

Calcular o fator integrante para o nosso caso:
p(x)=2x \quad\Rightarrow\quad \int p(x)\,dx=\int 2x\,dx = x^2 + C_0.
Ao formar \mu(x)=e^{\int p(x)\,dx} podemos ignorar a constante aditiva C_0 porque e^{x^2+C_0}=e^{C_0}e^{x^2} e um fator constante multiplicativo no integrador pode ser absorvido na constante de integração final. Então escolhemos
\mu(x)=e^{x^2}.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por \mu(x)=e^{x^2}:
e^{x^2}y' + 2x e^{x^2} y = x e^{x^2}.
Pelo motivo explicado antes, o lado esquerdo é a derivada do produto (e^{x^2}y)'. Logo
\bigl(e^{x^2}y\bigr)' = x e^{x^2}.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
e^{x^2}y = \int x e^{x^2}\,dx + C,
onde C é a constante de integração geral. Para calcular a integral \int x e^{x^2}\,dx use uma substituição simples: seja u=x^2, então du=2x\,dx e x\,dx=\tfrac{1}{2}du. Assim
\int x e^{x^2}\,dx = \tfrac{1}{2}\int e^{u}\,du = \tfrac{1}{2}e^{u} + C_1 = \tfrac{1}{2}e^{x^2} + C_1.
Absorvendo C_1 em C (já temos uma constante de integração), obtemos
e^{x^2}y = \tfrac{1}{2}e^{x^2} + C.

Passo 6

Isolando y dividindo por e^{x^2}:
y = \tfrac{1}{2} + C e^{-x^2},
onde C é uma constante arbitrária real. Podemos fazer uma verificação rápida: derivando y obtemos y' = -2C x e^{-x^2}. Então
y' + 2x y = -2C x e^{-x^2} + 2x\Bigl(\tfrac{1}{2}+C e^{-x^2}\Bigr) = x,
o que confirma que a solução está correta.

Resposta

\displaystyle y(x)=\tfrac{1}{2}+C e^{-x^{2}}

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