Resolva usando Integrais de Produtos e Quocientes “Por Dedução”
\n& \int \frac{e{x}}{1+e{2 x}} d x

Passo 1

Vamos resolver a integral integral e^x1+e^2x , dx. Aqui, estamos lidando com uma função que possui uma exponencial no numerador e no denominador. Para resolver isso, vamos usar o método de substituição, que ajuda a simplificar a integral tornando-a mais fácil de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição que simplifica a expressão. Observe que o denominador 1 + e^2x pode ser relacionado com uma função cuja derivada conhecemos. Vamos definir:
u = e^x
Agora, calculamos a derivada de u em relação a x:
du = e^x , dx

Passo 3

Com a substituição feita, substituímos e^x , dx por du na integral original:
integral e^x1 + e^2x , dx = integral du1 + u^2

Passo 4

A integral integral du1 + u^2 é uma forma padrão que conhecemos da matemática. Essa integral é igual à função arco-tangente de u:
integral du1 + u^2 = arctan(u) + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 5

Finalmente, voltamos à variável original x substituindo u = e^x:
arctan(u) + C = arctan(e^x) + C

Resposta

A integral integral e^x1+e^2x , dx é igual a arctan(e^x) + C.

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