Resolva usando Integrais de Produtos e Quocientes “Por Dedução”
\n& \int \frac{e{x}}{1+e{2 x}} d x
\n& \int \frac{e{x}}{1+e{2 x}} d x
Passo 1
Vamos resolver a integral
. Aqui, estamos lidando com uma função que possui uma exponencial no numerador e no denominador. Para resolver isso, vamos usar o método de substituição, que ajuda a simplificar a integral tornando-a mais fácil de calcular.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição que simplifica a expressão. Observe que o denominador
pode ser relacionado com uma função cuja derivada conhecemos. Vamos definir:
Agora, calculamos a derivada de
em relação a
:
Passo 3
Com a substituição feita, substituímos
por
na integral original:
Passo 4
A integral
é uma forma padrão que conhecemos da matemática. Essa integral é igual à função arco-tangente de
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Finalmente, voltamos à variável original
substituindo
:
Resposta
A integral
é igual a
.