Resolva usando Integrais de Produtos e Quocientes “Por Dedução”
\n& \int \frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x} d x

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver essa integral que é a seguinte:
integral sin x - cos xsin x + cos x , dx
Aqui, estamos trabalhando com integrais de quocientes, onde temos uma fração envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos usar o método de substituição, que é uma técnica básica em cálculo para simplificar integrais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma parte da fração para substituir por uma nova variável, digamos u . Olhando para a nossa fração sin x - cos xsin x + cos x, uma boa escolha é o denominador:
u = sin x + cos x

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de u em relação a x para ajudar na substituição:
dudx = cos x - sin x
Isso significa que:
du = (cos x - sin x) , dx

Passo 4

Observe que no numerador da nossa fração original temos sin x - cos x , que é o negativo do que acabamos de obter na derivada de u . Então podemos reescrever:
sin x - cos x = -(cos x - sin x)
Substituindo na expressão de du :
sin x - cos x , dx = -du

Passo 5

Agora, vamos substituir tudo na nossa integral original:
integral sin x - cos xsin x + cos x , dx = integral -duu

Passo 6

A integral integral -duu é uma das integrais básicas que conhecemos:
integral -1u , du = -ln|u| + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 7

Agora, voltamos à variável original substituindo u = sin x + cos x :
-ln|sin x + cos x| + C

Resposta

-ln|sin x + cos x| + C

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