Resolva usando Integrais de Produtos e Quocientes “Por Dedução”
\n& \int \frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x} d x
\n& \int \frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x} d x
Passo 1
Beleza, galera! Vamos resolver essa integral que é a seguinte:
Aqui, estamos trabalhando com integrais de quocientes, onde temos uma fração envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos usar o método de substituição, que é uma técnica básica em cálculo para simplificar integrais complicadas.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma parte da fração para substituir por uma nova variável, digamos
. Olhando para a nossa fração
, uma boa escolha é o denominador:
Passo 3
Agora, precisamos calcular a derivada de
em relação a
para ajudar na substituição:
Isso significa que:
Passo 4
Observe que no numerador da nossa fração original temos
, que é o negativo do que acabamos de obter na derivada de
. Então podemos reescrever:
Substituindo na expressão de
:
Passo 5
Agora, vamos substituir tudo na nossa integral original:
Passo 6
A integral
é uma das integrais básicas que conhecemos:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, voltamos à variável original substituindo
: