Resolva usando Integrais de Produtos e Quocientes “Por Dedução”
\n& \int \frac{3 x+1}{\sqrt{2 x^{2}+x+1}} d x
\n& \int \frac{3 x+1}{\sqrt{2 x^{2}+x+1}} d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular
usando a ideia de dividir o numerador em parte proporcional à derivada do que está debaixo da raiz e resto constante. Vamos precisar de:
- Reconhecer
e sua derivada . - Escrever
como combinação de e uma constante. - Integrar
e .
Passo 2
Decompondo o numerador: buscamos constantes
Expandindo e igualando coeficientes:
daí .
Passo 3
Reescrevendo a integral:
Passo 4
Para a primeira parte usamos que
Logo
Passo 5
Para a segunda parte
, fazemos completamento de quadrado em
:
Então com
temos
Voltando a
,
, fica
Passo 6
Juntando as duas partes,