Resolva usando Integrais de Produtos e Quocientes “Por Dedução”
\n& \int \frac{3 x+1}{\sqrt{2 x^{2}+x+1}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral 3x+1raiz2x^2+x+1,dx
usando a ideia de dividir o numerador em parte proporcional à derivada do que está debaixo da raiz e resto constante. Vamos precisar de:
  • Reconhecer f(x)=2x^2+x+1 e sua derivada f'(x)=4x+1.
  • Escrever 3x+1 como combinação de 4x+1 e uma constante.
  • Integrar integral f'(x)/raizf(x),dx e integral 1/raizf(x),dx.

Passo 2

Decompondo o numerador: buscamos constantes
Expandindo e igualando coeficientes:
daí .

Passo 3

Reescrevendo a integral:
integral 3x+1raizf(x),dx = integral tfrac34(4x+1) + tfrac14raizf(x),dx = 34integral f'(x)raizf(x),dx ;+;14integral 1raizf(x),dx

Passo 4

Para a primeira parte usamos que
integral f'(x)raizf(x),dx = 2raizf(x) + C
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34integral f'(x)raizf(x),dx = 34cdot 2raizf(x) = 32,raiz2x^2+x+1

Passo 5

Para a segunda parte integral dxraiz2x^2+x+1, fazemos completamento de quadrado em 2x^2+x+1:
2x^2+x+1 =2l(x+tfrac14r)^2+tfrac78
Então com u = x+tfrac14 temos
integral dxraiz2x^2+x+1 = integral duraiz2u^2+tfrac78 = raiz87;integral duraiz1+l(tfrac4uraiz7r)^2 = raiz22,arsinh!l(tfrac4uraiz7r)+C
Voltando a x, u=x+tfrac14, fica
integral dxraiz2x^2+x+1 = raiz22,arsinh!l(tfrac4x+1raiz7r)+C

Passo 6

Juntando as duas partes,
integral 3x+1raiz2x^2+x+1,dx = 32raiz2x^2+x+1 ;+;14cdotraiz22,arsinh!l(tfrac4x+1raiz7r) + C

Resposta

boxed 32,raiz2x^2+x+1 ;+;raiz28,arsinh!l(4x+1raiz7r) + C

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