Resolva usando o método dos coeficientes indeterminados
\ddot{x}-9 \dot{x}+14 x=3 t^{2}-5 \operatorname{sen} 2 t+7 t e^{6 t}

Passo 1

Enunciado e dados claros (o que o problema dá e o que pede).
  • Foi dada a equação diferencial
\ddot{x}-9\dot{x}+14x=3t^{2}-5\sin 2t+7t e^{6t}.
  • O que se pede: encontrar a solução geral x(t) da equação (sem condições iniciais), usando o método dos coeficientes indeterminados.
  • Informações úteis do enunciado:
    • O lado direito é soma de três termos independentes: um polinômio 3t^{2}, uma função trigonométrica -5\sin 2t e um termo do tipo polinômio vezes exponencial 7t e^{6t}.
    • A equação é linear com coeficientes constantes de segunda ordem, portanto a solução geral será soma da solução da homogênea mais uma solução particular composta.

Passo 2

Resolver a equação homogênea associada e interpretar o resultado (passo necessário para escolher ansatzs).
  • A homogênea é
\ddot{x}-9\dot{x}+14x=0.
  • Procura-se solução da forma x_h(t)=e^{rt}. Substituindo vem a equação característica
r^{2}-9r+14=0.
  • Resolve-se a quadrática: fatorando,
r^{2}-9r+14=(r-7)(r-2)=0,
portanto as raízes são r=7 e r=2.
  • Assim a solução geral da homogênea é
x_h(t)=C_{1}e^{7t}+C_{2}e^{2t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.
(Comentário rápido: essas raízes mostram com que exponentes o operador diferencial anula funções exponenciais; isso será útil ao escolher as formas de tentativa para as partes particulares — se o termo for e^{\lambda t} e \lambda for raiz da característica, há ressonância e a tentativa precisa ser multiplicada por potências de t.)

Passo 3

Explicar o método dos coeficientes indeterminados e escolher a forma (ansatz) das soluções particulares para cada termo da fonte.
  • Ideia do método: como o lado direito é soma de funções simples (polinômio, seno/cosseno, exponencial multiplicada por polinômio), procura-se uma solução particular para cada termo com a mesma “família” funcional, com coeficientes indeterminados. Substitui-se no operador diferencial e resolve-se para os coeficientes.
  • Precisamos considerar ressonância: se a forma tentativa coincide com uma solução da homogênea, multiplicamos por t o suficiente para remover a ressonância. Aqui as raízes homogêneas são 7 e 2, portanto:
    • Para o termo 3t^{2} (polinômio de grau 2): zero não é raiz da característica, logo tentamos um polinômio de grau 2 sem multiplicar por t.
    • Para o termo -5\sin 2t: é natural tentar A\cos 2t + B\sin 2t. Não há ressonância (não aparecem raízes \pm 2i), então essa forma é suficiente.
    • Para o termo 7t e^{6t}: tenta-se e^{6t}(\alpha t + \beta) (polinômio de grau 1 multiplicado por e^{6t}). Como 6 não é raiz da característica (temos 7 e 2), não há fator extra de t.
  • Assim a solução particular será soma de três partes:
x_{p}(t)=x_{p1}(t)+x_{p2}(t)+x_{p3}(t),
com formas tentativas:
x_{p1}(t)=a t^{2}+b t+c, \qquad x_{p2}(t)=A\cos 2t + B\sin 2t, \qquad x_{p3}(t)=e^{6t}(\alpha t+\beta).

Passo 4

Determinar x_{p1} (parte polinomial) passo a passo.
  • Começando com x_{p1}(t)=a t^{2}+b t+c.
  • Derivadas:
\dot{x}_{p1}(t)=2a t + b, \qquad \ddot{x}_{p1}(t)=2a.
  • Substituindo no lado esquerdo:
\ddot{x}_{p1}-9\dot{x}_{p1}+14x_{p1} =2a -9(2a t + b) +14(at^{2}+bt+c).
  • Expande-se e agrupa por potências de t:
=14a\,t^{2}+(-18a+14b)\,t + (2a-9b+14c).
  • Esse resultado deve igualar a parte polinomial do lado direito, que é 3t^{2}+0\cdot t +0. Igualando coeficientes:
14a=3, \qquad -18a+14b=0, \qquad 2a-9b+14c=0.
  • Resolve-se:
a=\frac{3}{14}.
b=\frac{18a}{14}=\frac{9a}{7}=\frac{9}{7}\cdot\frac{3}{14}=\frac{27}{98}.
14c=9b-2a \quad\Rightarrow\quad c=\frac{9b-2a}{14} =\frac{9\cdot\frac{27}{98}-2\cdot\frac{3}{14}}{14} =\frac{\frac{243}{98}-\frac{42}{98}}{14} =\frac{\frac{201}{98}}{14} =\frac{201}{1372}.
  • Portanto
x_{p1}(t)=\frac{3}{14}t^{2}+\frac{27}{98}t+\frac{201}{1372}.

Passo 5

Determinar x_{p2} (parte trigonométrica) passo a passo.
  • Tentativa x_{p2}(t)=A\cos 2t + B\sin 2t.
  • Derivadas:
\dot{x}_{p2}(t)=-2A\sin 2t +2B\cos 2t, \qquad \ddot{x}_{p2}(t)=-4A\cos 2t -4B\sin 2t.
  • Substituindo no operador:
\ddot{x}_{p2}-9\dot{x}_{p2}+14x_{p2} =(-4A\cos 2t -4B\sin 2t) -9(-2A\sin 2t +2B\cos 2t) +14(A\cos 2t +B\sin 2t).
  • Agrupando termos em \cos 2t e \sin 2t:
\text{coeficiente de }\cos 2t: -4A -18B +14A = (10A -18B),
\text{coeficiente de }\sin 2t: -4B +18A +14B = (18A +10B).
  • O lado direito para essa parte é -5\sin 2t, isto é 0\cdot\cos 2t + (-5)\sin 2t. Igualando coeficientes obtemos o sistema:
10A-18B=0, \qquad 18A+10B=-5.
  • Resolve-se: da primeira A=\dfrac{9}{5}B. Substituindo na segunda:
18\cdot\frac{9}{5}B +10B = -5 \quad\Rightarrow\quad \frac{162}{5}B+\frac{50}{5}B=\frac{212}{5}B=-5
B=-\frac{25}{212}.
A=\frac{9}{5}B=-\frac{45}{212}.
  • Assim
x_{p2}(t)=-\frac{45}{212}\cos 2t -\frac{25}{212}\sin 2t.

Passo 6

Determinar x_{p3} (parte t e^{6t}) passo a passo.
  • Tentativa x_{p3}(t)=e^{6t}(\alpha t + \beta).
  • Derivadas (usar regra do produto):
\dot{x}_{p3}=e^{6t}\big(6(\alpha t+\beta)+\alpha\big)=e^{6t}(6\alpha t + (6\beta+\alpha)),
\ddot{x}_{p3}=e^{6t}\big(6(6\alpha t + (6\beta+\alpha))+6\alpha\big) = e^{6t}(36\alpha t + (36\beta+12\alpha)).
  • Substituindo no operador:
\ddot{x}_{p3}-9\dot{x}_{p3}+14x_{p3} = e^{6t}\Big[(36\alpha t + (36\beta+12\alpha)) -9(6\alpha t + (6\beta+\alpha)) +14(\alpha t+\beta)\Big].
  • Agrupando termos em t e constantes:
\text{coeficiente de }t: \\ (36\alpha -54\alpha +14\alpha) t = (-4\alpha)\,t,
\text{termo constante: } (36\beta+12\alpha) -9(6\beta+\alpha) +14\beta =3\alpha -4\beta.
  • Portanto
\ddot{x}_{p3}-9\dot{x}_{p3}+14x_{p3}= e^{6t}\big( -4\alpha\,t + (3\alpha-4\beta)\big).
  • Esse termo deve igualar 7t e^{6t}. Igualando coeficientes (do fator e^{6t}):
-4\alpha = 7, \qquad 3\alpha -4\beta = 0.
  • Da primeira vem \alpha = -\dfrac{7}{4}. Da segunda,
\beta = \frac{3\alpha}{4}=\frac{3}{4}\left(-\frac{7}{4}\right)=-\frac{21}{16}.
  • Assim
x_{p3}(t)=e^{6t}\left(-\frac{7}{4}t -\frac{21}{16}\right).

Passo 7

Juntar tudo e escrever a solução geral; comentar rapidamente sobre estrutura da solução.
  • A solução particular completa é a soma das três partes encontradas:
x_{p}(t)=\frac{3}{14}t^{2}+\frac{27}{98}t+\frac{201}{1372} -\frac{45}{212}\cos 2t -\frac{25}{212}\sin 2t +e^{6t}\left(-\frac{7}{4}t -\frac{21}{16}\right).
  • A solução geral da equação é a soma da homogênea com a particular:
x(t)=C_{1}e^{7t}+C_{2}e^{2t}+x_{p}(t),
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias determinadas por condições iniciais (se fornecidas).
  • Observação encorajadora: o procedimento é sempre o mesmo — decompor o lado direito em termos básicos, propor ansatzs compatíveis, levar em conta possíveis ressonâncias (multiplicar por potências de t quando a forma coincide com uma solução homogênea), e então igualar coeficientes. Com prática isso fica bem mecânico!

Resposta

x(t)=C_{1}e^{7t}+C_{2}e^{2t}+\frac{3}{14}t^{2}+\frac{27}{98}t+\frac{201}{1372}-\frac{45}{212}\cos 2t-\frac{25}{212}\sin 2t+e^{6t}\Big(-\frac{7}{4}t-\frac{21}{16}\Big)

Exercícios relacionados