Resolva usando o método dos coeficientes indeterminados
Passo 1
Enunciado e dados claros (o que o problema dá e o que pede).
- Foi dada a equação diferencial
- O que se pede: encontrar a solução geral
da equação (sem condições iniciais), usando o método dos coeficientes indeterminados. - Informações úteis do enunciado:
- O lado direito é soma de três termos independentes: um polinômio
, uma função trigonométrica e um termo do tipo polinômio vezes exponencial . - A equação é linear com coeficientes constantes de segunda ordem, portanto a solução geral será soma da solução da homogênea mais uma solução particular composta.
- O lado direito é soma de três termos independentes: um polinômio
Passo 2
Resolver a equação homogênea associada e interpretar o resultado (passo necessário para escolher ansatzs).
- A homogênea é
- Procura-se solução da forma
. Substituindo vem a equação característica
- Resolve-se a quadrática: fatorando,
portanto as raízes são
e
.
- Assim a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
(Comentário rápido: essas raízes mostram com que exponentes o operador diferencial anula funções exponenciais; isso será útil ao escolher as formas de tentativa para as partes particulares — se o termo for
e
for raiz da característica, há ressonância e a tentativa precisa ser multiplicada por potências de
.)
Passo 3
Explicar o método dos coeficientes indeterminados e escolher a forma (ansatz) das soluções particulares para cada termo da fonte.
- Ideia do método: como o lado direito é soma de funções simples (polinômio, seno/cosseno, exponencial multiplicada por polinômio), procura-se uma solução particular para cada termo com a mesma “família” funcional, com coeficientes indeterminados. Substitui-se no operador diferencial e resolve-se para os coeficientes.
- Precisamos considerar ressonância: se a forma tentativa coincide com uma solução da homogênea, multiplicamos por
o suficiente para remover a ressonância. Aqui as raízes homogêneas são e , portanto: - Para o termo
(polinômio de grau 2): zero não é raiz da característica, logo tentamos um polinômio de grau 2 sem multiplicar por . - Para o termo
: é natural tentar . Não há ressonância (não aparecem raízes ), então essa forma é suficiente. - Para o termo
: tenta-se (polinômio de grau 1 multiplicado por ). Como não é raiz da característica (temos 7 e 2), não há fator extra de .
- Para o termo
- Assim a solução particular será soma de três partes:
com formas tentativas:
Passo 4
Determinar
(parte polinomial) passo a passo.
- Começando com
. - Derivadas:
- Substituindo no lado esquerdo:
- Expande-se e agrupa por potências de
:
- Esse resultado deve igualar a parte polinomial do lado direito, que é
. Igualando coeficientes:
- Resolve-se:
- Portanto
Passo 5
Determinar
(parte trigonométrica) passo a passo.
- Tentativa
. - Derivadas:
- Substituindo no operador:
- Agrupando termos em
e :
- O lado direito para essa parte é
, isto é . Igualando coeficientes obtemos o sistema:
- Resolve-se: da primeira
. Substituindo na segunda:
- Assim
Passo 6
Determinar
(parte
) passo a passo.
- Tentativa
. - Derivadas (usar regra do produto):
- Substituindo no operador:
- Agrupando termos em
e constantes:
- Portanto
- Esse termo deve igualar
. Igualando coeficientes (do fator ):
- Da primeira vem
. Da segunda,
- Assim
Passo 7
Juntar tudo e escrever a solução geral; comentar rapidamente sobre estrutura da solução.
- A solução particular completa é a soma das três partes encontradas:
- A solução geral da equação é a soma da homogênea com a particular:
onde
são constantes arbitrárias determinadas por condições iniciais (se fornecidas).
- Observação encorajadora: o procedimento é sempre o mesmo — decompor o lado direito em termos básicos, propor ansatzs compatíveis, levar em conta possíveis ressonâncias (multiplicar por potências de
quando a forma coincide com uma solução homogênea), e então igualar coeficientes. Com prática isso fica bem mecânico!