Resolva usando o método dos coeficientes indeterminados
\ddot{x}-\dot{x}+x=2 \operatorname{sen} 3 t

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\ddot{x}-\dot{x}+x=2\sin 3t
usando o método dos coeficientes indeterminados. Ou seja, encontrar a solução geral x(t) da equação não-homogênea linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Informações dadas:
  • Equação diferencial: \ddot{x}-\dot{x}+x=2\sin 3t.
  • O termo forçante (lado direito) é 2\sin 3t.
    A tarefa é obter a solução geral x(t)=x_h(t)+x_p(t), onde x_h é a solução geral da homogênea e x_p é uma solução particular encontrada por coeficientes indeterminados.

Passo 2

Resolver primeiro a equação homogênea associada:
\ddot{x}-\dot{x}+x=0.
Para equações lineares com coeficientes constantes usamos a equação característica. Substituindo x(t)=e^{rt} obtemos a equação característica
r^{2}-r+1=0.
Resolvendo essa quadrática:
r=\frac{1\pm\sqrt{1-4}}{2}=\frac{1\pm i\sqrt{3}}{2}.
Escrevendo r=\alpha\pm i\beta temos \alpha=\tfrac{1}{2} e \beta=\tfrac{\sqrt{3}}{2}. Para raízes complexas conjugadas a solução geral da homogênea é
x_h(t)=e^{\alpha t}\big(C_{1}\cos(\beta t)+C_{2}\sin(\beta t)\big).
Portanto
x_h(t)=e^{\tfrac{t}{2}}\big(C_{1}\cos\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}t\big)+C_{2}\sin\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}t\big)\big),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora aplicamos o método dos coeficientes indeterminados para achar uma solução particular x_p(t) para
\ddot{x}-\dot{x}+x=2\sin 3t.
Regra prática: quando o lado direito é combinação de senos e cossenos de frequência \omega, tenta-se um ansatz do tipo
x_p(t)=A\cos( \omega t)+B\sin(\omega t),
com A,B constantes a determinar. Aqui \omega=3, logo tentamos
x_p(t)=A\cos 3t + B\sin 3t.
Antes de prosseguir devemos verificar se há ressonância: se i\omega (a raiz imaginária pura i3) for raiz da equação característica, o ansatz deve ser multiplicado por t. A equação característica tem raízes \tfrac{1}{2}\pm i\tfrac{\sqrt{3}}{2}, cuja parte imaginária é \pm\tfrac{\sqrt{3}}{2}, diferente de \pm 3. Logo não há ressonância e o ansatz acima é adequado.

Passo 4

Calcular \dot{x}_p e \ddot{x}_p. Derivando term a term:
\dot{x}_p(t) = -3A\sin 3t + 3B\cos 3t,
\ddot{x}_p(t) = -9A\cos 3t -9B\sin 3t.
Estas fórmulas vêm de derivar \cos 3t e \sin 3t: \dfrac{d}{dt}\cos 3t=-3\sin 3t e \dfrac{d}{dt}\sin 3t=3\cos 3t; e derivando novamente aparece o fator -9.

Passo 5

Substituir x_p,\dot{x}_p,\ddot{x}_p na equação \ddot{x}-\dot{x}+x e agrupar os termos em \cos 3t e \sin 3t:
\ddot{x}_p-\dot{x}_p+x_p = (-9A\cos 3t -9B\sin 3t) -(-3A\sin 3t + 3B\cos 3t) + (A\cos 3t + B\sin 3t).
Separando coeficientes de \cos 3t e \sin 3t:
Coeficiente de \cos 3t:
-9A \;-\;3B \;+\; A = -8A -3B.
Coeficiente de \sin 3t:
-9B \;+\;3A \;+\; B = 3A -8B.
Logo
\ddot{x}_p-\dot{x}_p+x_p = \big(-8A-3B\big)\cos 3t + \big(3A-8B\big)\sin 3t.
Queremos isso igual a 2\sin 3t + 0\cdot\cos 3t. Igualando coeficientes obtemos o sistema linear para A e B:
\begin{cases} -8A-3B=0,\\[4pt] 3A-8B=2. \end{cases}]

Passo 6

Resolver o sistema por substituição. Da primeira equação:
-8A-3B=0 \quad\Rightarrow\quad 8A=-3B \quad\Rightarrow\quad A=-\frac{3}{8}B.
Substituindo na segunda:
3\Big(-\frac{3}{8}B\Big)-8B=2 \quad\Rightarrow\quad -\frac{9}{8}B-8B=2.
Somando os termos em B com denominador comum 8:
-\frac{9}{8}B-\frac{64}{8}B=-\frac{73}{8}B=2.
Logo
B=-\frac{16}{73}.
Agora A=-\dfrac{3}{8}B=-\dfrac{3}{8}\Big(-\dfrac{16}{73}\Big)=\dfrac{48}{584}=\dfrac{6}{73}. \] Portanto os coeficientes são \[A=\frac{6}{73},\qquad B=-\frac{16}{73}.\]

Passo 7

Escrever a solução particular encontrada:
x_p(t)=\frac{6}{73}\cos 3t - \frac{16}{73}\sin 3t.
A solução geral da equação não-homogênea é soma da homogênea com a particular:
x(t)=x_h(t)+x_p(t)=e^{\tfrac{t}{2}}\big(C_{1}\cos\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}t\big)+C_{2}\sin\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}t\big)\big)+\frac{6}{73}\cos 3t - \frac{16}{73}\sin 3t,
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias determinadas por condições iniciais, se fornecidas.

Resposta

x(t)=e^{\tfrac{t}{2}}\big(C_{1}\cos\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}t\big)+C_{2}\sin\!\big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}t\big)\big)+\frac{6}{73}\cos 3t - \frac{16}{73}\sin 3t

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