Resolva usando o método dos coeficientes indeterminados
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
usando o método dos coeficientes indeterminados. Ou seja, encontrar a solução geral
da equação não-homogênea linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Informações dadas:
- Equação diferencial:
. - O termo forçante (lado direito) é
.
A tarefa é obter a solução geral, onde é a solução geral da homogênea e é uma solução particular encontrada por coeficientes indeterminados.
Passo 2
Resolver primeiro a equação homogênea associada:
Para equações lineares com coeficientes constantes usamos a equação característica. Substituindo
obtemos a equação característica
Resolvendo essa quadrática:
Escrevendo
temos
e
. Para raízes complexas conjugadas a solução geral da homogênea é
Portanto
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora aplicamos o método dos coeficientes indeterminados para achar uma solução particular
para
Regra prática: quando o lado direito é combinação de senos e cossenos de frequência
, tenta-se um ansatz do tipo
com
constantes a determinar. Aqui
, logo tentamos
Antes de prosseguir devemos verificar se há ressonância: se
(a raiz imaginária pura
) for raiz da equação característica, o ansatz deve ser multiplicado por
. A equação característica tem raízes
, cuja parte imaginária é
, diferente de
. Logo não há ressonância e o ansatz acima é adequado.
Passo 4
Calcular
e
. Derivando term a term:
Estas fórmulas vêm de derivar
e
:
e
; e derivando novamente aparece o fator
.
Passo 5
Substituir
na equação
e agrupar os termos em
e
:
Separando coeficientes de
e
:
Coeficiente de
:
Coeficiente de
:
Logo
Queremos isso igual a
. Igualando coeficientes obtemos o sistema linear para
e
:
Passo 6
Resolver o sistema por substituição. Da primeira equação:
Substituindo na segunda:
Somando os termos em
com denominador comum
:
Logo
Agora
Passo 7
Escrever a solução particular encontrada:
A solução geral da equação não-homogênea é soma da homogênea com a particular:
onde
e
são constantes arbitrárias determinadas por condições iniciais, se fornecidas.