Resolva usando o método do fator integrante as seguintes equações.
3 y d x-x d y=0
3 y d x-x d y=0
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial na forma
com
e
. Para aplicar o método do fator integrante, primeiro verificamos se a equação é exata comparando
e
; como são diferentes, precisamos encontrar um fator integrante.
Passo 2
Procuramos um fator integrante
que dependa só de
. A condição é
que é função apenas de
. Logo,
Passo 3
Multiplicamos a equação original por
, obtendo
com
e
. Agora
e
,
ou seja, a equação tornou-se exata.
ou seja, a equação tornou-se exata.
Passo 4
Existe uma função potencial
tal que
Integrando em
,
Derivando em
,
e devemos ter
, o que implica
. Assim
é constante.
Passo 5
A solução geral vem de
, isto é,
sendo
uma constante arbitrária.