Resolva usando o método do fator integrante as seguintes equações.
3 y d x-x d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial na forma
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
com M(x,y)=3y e N(x,y)=-x. Para aplicar o método do fator integrante, primeiro verificamos se a equação é exata comparando \partial M/\partial y=3 e \partial N/\partial x=-1; como são diferentes, precisamos encontrar um fator integrante.

Passo 2

Procuramos um fator integrante \mu que dependa só de x. A condição é
\frac{\partial M/\partial y - \partial N/\partial x}{N} =\frac{3 - (-1)}{-x} =-\frac{4}{x},
que é função apenas de x. Logo,
\mu(x) =\exp\Bigl(\int -\frac{4}{x}\,dx\Bigr) =\exp(-4\ln|x|) =x^{-4}.

Passo 3

Multiplicamos a equação original por \mu(x)=x^{-4}, obtendo
M^*(x,y)\,dx + N^*(x,y)\,dy = 0
com M^*(x,y)=3y\,x^{-4} e N^*(x,y)=-x^{-3}. Agora \partial M^*/\partial y = 3x^{-4} e \partial N^*/\partial x = 3x^{-4},
ou seja, a equação tornou-se exata.

Passo 4

Existe uma função potencial \varphi(x,y) tal que
\frac{\partial \varphi}{\partial x} = M^*(x,y) = 3y\,x^{-4}.
Integrando em x,
\varphi(x,y) = \int 3y\,x^{-4}\,dx = -y\,x^{-3} + h(y).
Derivando em y,
\frac{\partial \varphi}{\partial y} = -x^{-3} + h'(y)
e devemos ter \phi_y = N^*(x,y) = -x^{-3}, o que implica h'(y)=0. Assim h(y) é constante.

Passo 5

A solução geral vem de \varphi(x,y) = C, isto é,
-y\,x^{-3} = C \quad\Longrightarrow\quad y = C'\,x^3,
sendo C' uma constante arbitrária.

Resposta

y = C\,x^3

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