Resolva usando o método do fator integrante as seguintes equações.
(2 x+3 y) d x+x d y=0
(2 x+3 y) d x+x d y=0
Passo 1
O enunciado pede para resolver, pelo método do fator integrante, a equação diferencial
O conteúdo aqui é identificação de exatidão e, se não for exata, busca de um fator integrante em função de
ou de
.
Passo 2
Vamos checar se a equação é exata. Definimos
Calculamos
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Procuramos um fator integrante
que dependa só de
. Para isso, verificamos se
é função só de
. Temos
que depende apenas de
. Logo, um fator integrante é
Passo 4
Multiplicamos toda a equação por
:
Agora definimos
Verificamos
portanto a equação é exata.
Passo 5
Como é exata, existe uma função potencial
tal que
Integramos
em relação a
:
onde
é função a determinar. Em seguida, derivamos em relação a
:
Desprezando a constante na expressão final, obtemos
Resposta
A solução geral, em forma implícita, é
onde
é constante de integração. Equivalentemente,