Resolva usando o método do fator integrante as seguintes equações.
(2 x+3 y) d x+x d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver, pelo método do fator integrante, a equação diferencial
(2x + 3y)\,dx + x\,dy = 0.
O conteúdo aqui é identificação de exatidão e, se não for exata, busca de um fator integrante em função de x ou de y.

Passo 2

Vamos checar se a equação é exata. Definimos
M(x,y) = 2x + 3y, \quad N(x,y) = x.
Calculamos
\frac{\partial M}{\partial y} = 3, \quad \frac{\partial N}{\partial x} = 1.
Como \partial M/\partial y \neq \partial N/\partial x, a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante \mu que dependa só de x. Para isso, verificamos se
\frac{\partial M/\partial y - \partial N/\partial x}{N}
é função só de x. Temos
\frac{3 - 1}{x} = \frac{2}{x},
que depende apenas de x. Logo, um fator integrante é
\mu(x) = \exp\!\Bigl(\int \frac{2}{x}\,dx\Bigr) = \exp(2\ln|x|) = x^2.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação por x^2:
x^2(2x + 3y)\,dx + x^2\cdot x\,dy = 0 \quad\Longrightarrow\quad (2x^3 + 3x^2 y)\,dx + x^3\,dy = 0.
Agora definimos
\widetilde M = 2x^3 + 3x^2 y, \quad \widetilde N = x^3.
Verificamos
\frac{\partial \widetilde M}{\partial y} = 3x^2, \quad \frac{\partial \widetilde N}{\partial x} = 3x^2,
portanto a equação é exata.

Passo 5

Como é exata, existe uma função potencial \varphi(x,y) tal que
\frac{\partial \varphi}{\partial x} = \widetilde M = 2x^3 + 3x^2 y, \quad \frac{\partial \varphi}{\partial y} = \widetilde N = x^3.
Integramos \widetilde M em relação a x:
\varphi(x,y) = \int (2x^3 + 3x^2 y)\,dx = \frac{x^4}{2} + x^3 y + h(y),
onde h(y) é função a determinar. Em seguida, derivamos em relação a y:
\frac{\partial \varphi}{\partial y} = x^3 + h'(y) \stackrel{!}{=} x^3 \;\Longrightarrow\; h'(y) = 0 \;\Longrightarrow\; h(y) = \text{constante}.
Desprezando a constante na expressão final, obtemos
\varphi(x,y) = \frac{x^4}{2} + x^3 y.

Resposta

A solução geral, em forma implícita, é
\frac{x^4}{2} + x^3 y = C,
onde C é constante de integração. Equivalentemente,
x^3\,(x + 2y) = C'.

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