Sendo v=\frac{d y}{d x} determine a relação entre v e y.
y^{\prime \prime}=-y^{3}

Passo 1

O enunciado dá a equação
y'' = -y^3
e define v = \frac{dy}{dx}.
Queremos achar uma relação entre v e y.
O conteúdo aqui é a técnica de reduzir a ordem da EDO usando \displaystyle y'' = \frac{dv}{dx} = \frac{dv}{dy}\,\frac{dy}{dx} = v\,\frac{dv}{dy}.

Passo 2

Substituindo \displaystyle y'' = v\,\frac{dv}{dy} na EDO, obtemos
v\,\frac{dv}{dy} = -y^3.

Passo 3

Separe as variáveis v e y:
v\,dv = -y^3\,dy.

Passo 4

Integre ambos os lados:
\int v\,dv = -\int y^3\,dy
\frac{v^2}{2} = -\frac{y^4}{4} + C.
Multiplicando por 2 e renomeando a constante C_1 = 2C,
v^2 = C_1 - \frac{y^4}{2}.

Passo 5

Portanto, a relação geral entre v e y é
v^2 + \frac{y^4}{2} = C_1,
ou ainda
v = \pm\sqrt{\,C_1 - \frac{y^4}{2}\,}.

Resposta

v^2 = C - \frac{y^4}{2}

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