Resolva, usando o método de Gauss-Jordan, os seguintes sistemas:

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
x + y + 2z = 8, -,x - 2y + 3z = 1, 3x - 7y + 4z = 10
utilizando o método de Gauss–Jordan. Esse método consiste em escrever a matriz aumentada do sistema e aplicar operações elementares de linha até obter a forma reduzida por linhas, da qual lemos diretamente as soluções x, y e z.

Passo 2

Formamos a matriz aumentada e eliminamos os elementos abaixo do pivô da primeira coluna. A matriz inicial é
[ccc|c 1 & 1 & 2 & 8 -1 & -2 & 3 & 1 3 & -7 & 4 & 10 ]
Para zerar o elemento em (2,1) fazemos R2 R2 + R1 e para zerar em (3,1) fazemos R3 R3 - 3,R1. Isso leva a
[ccc|c 1 & 1 & 2 & 8 0 & -1 & 5 & 9 0 & -10 & -2 & -14 ]

Passo 3

Agora pivotamos na segunda linha, segunda coluna. Primeiro escalonamos R2 invertendo o sinal para ter pivô 1:
R2 -,R2 longrightarrow [ccc|c 1 & 1 & 2 & 8 0 & 1 & -5 & -9 0 & -10 & -2 & -14 ]
Em seguida eliminamos o y de R1 com R1 R1 - R2 e de R3 com R3 R3 + 10,R2, obtendo
[ccc|c 1 & 0 & 7 & 17 0 & 1 & -5 & -9 0 & 0 & -52 & -104 ]

Passo 4

Por fim, escalonamos a terceira linha para pivô 1:
R3 -tfrac152R3 longrightarrow [ccc|c 1 & 0 & 7 & 17 0 & 1 & -5 & -9 0 & 0 & 1 & 2 ]
Agora eliminamos o z de R1 e R2: aplicamos R1 R1 - 7,R3 e R2 R2 + 5,R3. A matriz fica
[ccc|c 1 & 0 & 0 & 3 0 & 1 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & 2 ]

Resposta

x = 3, y = 1 e z = 2.

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