Resolva, usando o método de Gauss-Jordan, os seguintes sistemas:
\left\{\begin{array}{l}x+y+z=6 \\\\ 2 x-y+z=3 \\\ x+2 y-z=4\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
\begin{cases} x + y + z = 6,\\\\ 2x - y + z = 3,\\\ x + 2y - z = 4 \end{cases}
usando o método de Gauss–Jordan. Vamos montar a matriz aumentada do sistema e aplicar operações de linha para chegar à forma reduzida por linhas (forma escalonada reduzida), de onde lemos diretamente x, y e z.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6\\\\ 2 & -1 & 1 & 3\\\\ 1 & 2 & -1 & 4 \end{array}\right]
O objetivo é criar uma diagonal de uns e zeros em todas as outras posições.

Passo 3

Eliminamos o x de baixo do pivô da primeira coluna. Fazemos
R_2 \leftarrow R_2 - 2\,R_1,\quad R_3 \leftarrow R_3 - R_1.
Isso transforma a matriz em
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6\\\\ 0 & -3 & -1 & -9\\\\ 0 & 1 & -2 & -2 \end{array}\right].

Passo 4

Agora normalizamos o pivô da segunda linha dividindo por -3 e usamos essa linha para anular os outros elementos da coluna 2.
Primeiro
R_2 \leftarrow \frac{1}{-3}\,R_2 \;\longrightarrow\; \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6\\\\ 0 & 1 & \tfrac{1}{3} & 3\\\\ 0 & 1 & -2 & -2 \end{array}\right].
Em seguida,
R_1 \leftarrow R_1 - R_2, \quad R_3 \leftarrow R_3 - R_2,
ficando
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & \tfrac{2}{3} & 3\\\\ 0 & 1 & \tfrac{1}{3} & 3\\\\ 0 & 0 & -\tfrac{7}{3} & -5 \end{array}\right].

Passo 5

Por fim, normalizamos o pivô da terceira linha e eliminamos z acima dele.
Dividimos a linha 3 por -\tfrac{7}{3}:
R_3 \leftarrow \frac{-3}{7}\,R_3 \;\longrightarrow\; \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & \tfrac{2}{3} & 3\\\\ 0 & 1 & \tfrac{1}{3} & 3\\\\ 0 & 0 & 1 & \tfrac{15}{7} \end{array}\right].
Depois
R_1 \leftarrow R_1 - \tfrac{2}{3}\,R_3, \quad R_2 \leftarrow R_2 - \tfrac{1}{3}\,R_3,
chegando à forma
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & \tfrac{11}{7}\\\\ 0 & 1 & 0 & \tfrac{16}{7}\\\\ 0 & 0 & 1 & \tfrac{15}{7} \end{array}\right].
Pronto: cada variável está isolada.

Resposta

x = \tfrac{11}{7}, y = \tfrac{16}{7}, z = \tfrac{15}{7}.
ewline

Exercícios relacionados