Resolva, usando o método das transformadas de Laplace, cada um dos seguintes problemas de valor inicial:
.
Passo 1
O problema pede a solução da equação diferencial de valor inicial
com condições iniciais
As informações dadas são:
O enunciado pede encontrar
usando o método das transformadas de Laplace.
Passo 2
Vou recordar as fórmulas que vou usar (com explicação curta e clara):
- Definição da transformada de Laplace: para uma função
(adequada),
Na prática aqui usaremos só transformadas conhecidas.
- Transformadas úteis que usaremos:
- Regra para derivadas (fundamental para valor inicial): se
, então
- Teorema da convolução (para inverter produtos): se
e , então
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo.
Passo 3
Aplico a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Denotando
, e usando
, temos:
Logo, aplicando
à equação
Substituindo as transformadas do lado direito (
,
):
Isolando
:
Portanto
Passo 4
Vamos reescrever
como soma de termos que podemos inverter:
A ideia: inverter termo a termo. O primeiro termo é direto, os outros dois são produtos de funções em
— usaremos convolução no domínio do tempo para inverter.
- Primeiro termo:
Recordando
, com
temos
. Logo
Passo 5
Segundo termo:
Identificamos
e
.
- Inversas conhecidas:
(porque ) e .
Logo, pelo teorema da convolução:
Agora calculamos essa integral passo a passo. Use a identidade de ângulo:
Portanto
Chamemos
Calcule
por partes:
.
- Primeiro passo (partes):
.
- Segundo integral por partes:
, com .
Juntando:
Avaliado de
a
:
Agora
. Faço integrais por partes análogas:
-
-
.
Logo
Avaliado de
a
:
Substituindo
e
em
:
Agora simplificamos cuidadosamente. Ao expandir e agrupar termos trigonométricos (usando
) obtemos, após simplificação,
Passo 6
Terceiro termo:
Identificamos
e
.
- Inversas:
e .
Pelo teorema da convolução:
Usamos a mesma identidade trigonométrica:
então
Calculamos as integrais padrão (fórmula direta para exponencial vezes seno/cosseno):
Avaliado de
a
:
Substituindo em
e simplificando cuidadosamente (agrupando termos com
,
,
) obtemos o resultado
Passo 7
Somamos as três parcelas
:
Somando termo a termo (agrupando
,
,
,
e constantes):
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: . - Constante livre:
.
Portanto a solução é
Uma checagem rápida das condições iniciais (opcional, só para garantir): ao avaliar
obtemos
e derivando e avaliando em
obtemos
, então as condições iniciais são satisfeitas.