Resolva, usando o método das transformadas de Laplace, cada um dos seguintes problemas de valor inicial:
y^{\prime \prime}+4 y=t^{2}+3 e^{t} ; y(0)=0, y^{\prime}(0)=2.

Passo 1

O problema pede a solução da equação diferencial de valor inicial
y'' + 4y = t^{2} + 3e^{t},
com condições iniciais
y(0)=0,\qquad y'(0)=2.
As informações dadas são:
\text{equação: } y''+4y=t^{2}+3e^{t},çã
\text{condições: } y(0)=0,\; y'(0)=2.çõ
O enunciado pede encontrar y(t) usando o método das transformadas de Laplace.

Passo 2

Vou recordar as fórmulas que vou usar (com explicação curta e clara):
  • Definição da transformada de Laplace: para uma função f(t) (adequada),
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt.
Na prática aqui usaremos só transformadas conhecidas.
  • Transformadas úteis que usaremos:
\mathcal{L}\{t^{n}\}=\frac{n!}{s^{\,n+1}}\quad(\text{logo }\mathcal{L}\{t^{2}\}=\frac{2}{s^{3}}),
\mathcal{L}\{e^{at}\}=\frac{1}{s-a}\quad(\text{para } \Re(s)>a).
  • Regra para derivadas (fundamental para valor inicial): se Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}, então
\mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''(t)\}=s^{2}Y(s)-s y(0)-y'(0).
  • Teorema da convolução (para inverter produtos): se F(s)=\mathcal{L}\{f\} e G(s)=\mathcal{L}\{g\}, então
\mathcal{L}^{-1}\{F(s)G(s)\}= (f*g)(t)=\int_{0}^{t} f(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau.
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo.

Passo 3

Aplico a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Denotando Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}, e usando y(0)=0,\;y'(0)=2, temos:
\mathcal{L}\{y''\}=s^{2}Y(s)-s y(0)-y'(0)=s^{2}Y(s)-2.
Logo, aplicando \mathcal{L} à equação
s^{2}Y(s)-2 +4Y(s)=\mathcal{L}\{t^{2}\}+3\mathcal{L}\{e^{t}\}.
Substituindo as transformadas do lado direito ( \mathcal{L}\{t^{2}\}=2/s^{3}, \mathcal{L}\{e^{t}\}=1/(s-1)):
s^{2}Y(s)+4Y(s)-2=\frac{2}{s^{3}}+\frac{3}{s-1}.
Isolando Y(s):
(s^{2}+4)Y(s)=2+\frac{2}{s^{3}}+\frac{3}{s-1}.
Portanto
\boxed{\,Y(s)=\frac{2+\dfrac{2}{s^{3}}+\dfrac{3}{s-1}}{s^{2}+4}\, }.

Passo 4

Vamos reescrever Y(s) como soma de termos que podemos inverter:
Y(s)=\frac{2}{s^{2}+4}+\frac{2}{s^{3}}\cdot\frac{1}{s^{2}+4}+\frac{3}{s-1}\cdot\frac{1}{s^{2}+4}.
A ideia: inverter termo a termo. O primeiro termo é direto, os outros dois são produtos de funções em s — usaremos convolução no domínio do tempo para inverter.
  • Primeiro termo:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{2}{s^{2}+4}\right\}.
Recordando \mathcal{L}\{\sin(at)\}=\dfrac{a}{s^{2}+a^{2}}, com a=2 temos \mathcal{L}\{\sin(2t)\}=\dfrac{2}{s^{2}+4}. Logo
y_{1}(t)=\sin(2t).

Passo 5

Segundo termo:
\frac{2}{s^{3}}\cdot\frac{1}{s^{2}+4}.
Identificamos F(s)=\dfrac{2}{s^{3}} e G(s)=\dfrac{1}{s^{2}+4}.
  • Inversas conhecidas: \mathcal{L}^{-1}\{2/s^{3}\}=t^{2} (porque \mathcal{L}\{t^{2}\}=2/s^{3}) e \mathcal{L}^{-1}\{1/(s^{2}+4)\}=\tfrac{1}{2}\sin(2t).
    Logo, pelo teorema da convolução:
y_{2}(t)=\int_{0}^{t} \tau^{2}\cdot\frac{1}{2}\sin\big(2(t-\tau)\big)\,d\tau=\frac{1}{2}\int_{0}^{t}\tau^{2}\sin\big(2(t-\tau)\big)\,d\tau.
Agora calculamos essa integral passo a passo. Use a identidade de ângulo:
\sin\big(2(t-\tau)\big)=\sin(2t)\cos(2\tau)-\cos(2t)\sin(2\tau).
Portanto
y_{2}(t)=\frac{1}{2}\left[\sin(2t)\int_{0}^{t}\tau^{2}\cos(2\tau)\,d\tau-\cos(2t)\int_{0}^{t}\tau^{2}\sin(2\tau)\,d\tau\right].
Chamemos
I_{c}(t)=\int_{0}^{t}\tau^{2}\cos(2\tau)\,d\tau,\qquad I_{s}(t)=\int_{0}^{t}\tau^{2}\sin(2\tau)\,d\tau.
Calcule I_{c}(t) por partes: \int \tau^{2}\cos(2\tau)d\tau.
  • Primeiro passo (partes): u=\tau^{2},\;dv=\cos(2\tau)d\tau\Rightarrow du=2\tau d\tau,\;v=\tfrac{1}{2}\sin(2\tau).
\int \tau^{2}\cos(2\tau)d\tau=\frac{1}{2}\tau^{2}\sin(2\tau)-\int \tau\sin(2\tau)d\tau.
  • Segundo integral por partes: \int \tau\sin(2\tau)d\tau, com u=\tau,\;dv=\sin(2\tau)d\tau\Rightarrow v=-\tfrac{1}{2}\cos(2\tau).
\int \tau\sin(2\tau)d\tau=-\frac{1}{2}\tau\cos(2\tau)+\frac{1}{4}\sin(2\tau).
Juntando:
\int \tau^{2}\cos(2\tau)d\tau=\frac{1}{2}\tau^{2}\sin(2\tau)+\frac{1}{2}\tau\cos(2\tau)-\frac{1}{4}\sin(2\tau)+C.
Avaliado de 0 a t:
I_{c}(t)=\left(\frac{1}{2}t^{2}-\frac{1}{4}\right)\sin(2t)+\frac{1}{2}t\cos(2t).
Agora I_{s}(t)=\int_{0}^{t}\tau^{2}\sin(2\tau)\,d\tau. Faço integrais por partes análogas:
  • \int \tau^{2}\sin(2\tau)d\tau=-\frac{1}{2}\tau^{2}\cos(2\tau)+\int \tau\cos(2\tau)d\tau.
  • \int \tau\cos(2\tau)d\tau=\frac{1}{2}\tau\sin(2\tau)+\frac{1}{4}\cos(2\tau).
    Logo
\int \tau^{2}\sin(2\tau)d\tau=\left(-\frac{1}{2}\tau^{2}+\frac{1}{4}\right)\cos(2\tau)+\frac{1}{2}\tau\sin(2\tau)+C.
Avaliado de 0 a t:
I_{s}(t)=\left(-\frac{1}{2}t^{2}+\frac{1}{4}\right)\cos(2t)+\frac{1}{2}t\sin(2t)-\frac{1}{4}.
Substituindo I_{c} e I_{s} em y_{2}:
y_{2}(t)=\frac{1}{2}\Bigg[\sin(2t)\Big(\Big(\frac{1}{2}t^{2}-\frac{1}{4}\Big)\sin(2t)+\frac{1}{2}t\cos(2t)\Big) -\cos(2t)\Big(\Big(-\frac{1}{2}t^{2}+\frac{1}{4}\Big)\cos(2t)+\frac{1}{2}t\sin(2t)-\frac{1}{4}\Big)\Bigg].
Agora simplificamos cuidadosamente. Ao expandir e agrupar termos trigonométricos (usando \sin^{2}+\cos^{2}=1) obtemos, após simplificação,
y_{2}(t)=\frac{1}{4}t^{2}-\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\cos(2t).

Passo 6

Terceiro termo:
\frac{3}{s-1}\cdot\frac{1}{s^{2}+4}.
Identificamos F(s)=\dfrac{3}{s-1} e G(s)=\dfrac{1}{s^{2}+4}.
  • Inversas: \mathcal{L}^{-1}\{3/(s-1)\}=3e^{t} e \mathcal{L}^{-1}\{1/(s^{2}+4)\}=\tfrac{1}{2}\sin(2t).
    Pelo teorema da convolução:
y_{3}(t)=\int_{0}^{t} 3e^{\tau}\cdot\frac{1}{2}\sin\big(2(t-\tau)\big)\,d\tau=\frac{3}{2}\int_{0}^{t} e^{\tau}\sin\big(2(t-\tau)\big)\,d\tau.
Usamos a mesma identidade trigonométrica:
\sin(2(t-\tau))=\sin(2t)\cos(2\tau)-\cos(2t)\sin(2\tau),
então
y_{3}(t)=\frac{3}{2}\Bigg[\sin(2t)\int_{0}^{t}e^{\tau}\cos(2\tau)\,d\tau-\cos(2t)\int_{0}^{t}e^{\tau}\sin(2\tau)\,d\tau\Bigg].
Calculamos as integrais padrão (fórmula direta para exponencial vezes seno/cosseno):
\int e^{\tau}\cos(2\tau)\,d\tau=\frac{e^{\tau}\big(\cos(2\tau)+2\sin(2\tau)\big)}{5}+C,
\int e^{\tau}\sin(2\tau)\,d\tau=\frac{e^{\tau}\big(\sin(2\tau)-2\cos(2\tau)\big)}{5}+C.
Avaliado de 0 a t:
\int_{0}^{t}e^{\tau}\cos(2\tau)\,d\tau=\frac{e^{t}\big(\cos(2t)+2\sin(2t)\big)-1}{5},
\int_{0}^{t}e^{\tau}\sin(2\tau)\,d\tau=\frac{e^{t}\big(\sin(2t)-2\cos(2t)\big)+2}{5}.
Substituindo em y_{3} e simplificando cuidadosamente (agrupando termos com e^{t}, \sin(2t), \cos(2t)) obtemos o resultado
y_{3}(t)=\frac{3}{5}e^{t}-\frac{3}{10}\sin(2t)-\frac{3}{5}\cos(2t).

Passo 7

Somamos as três parcelas y_{1},y_{2},y_{3}:
y_{1}(t)=\sin(2t),
y_{2}(t)=\frac{1}{4}t^{2}-\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\cos(2t),
y_{3}(t)=\frac{3}{5}e^{t}-\frac{3}{10}\sin(2t)-\frac{3}{5}\cos(2t).
Somando termo a termo (agrupando t^{2}, e^{t}, \sin(2t), \cos(2t) e constantes):
  • Coeficiente de t^{2}: \tfrac{1}{4}.
  • Coeficiente de e^{t}: \tfrac{3}{5}.
  • Coeficiente de \sin(2t): 1 - \tfrac{3}{10} = \tfrac{7}{10}.
  • Coeficiente de \cos(2t): \tfrac{1}{8} - \tfrac{3}{5} = \frac{5-24}{40}=-\frac{19}{40}.
  • Constante livre: -\tfrac{1}{8}.
Portanto a solução é
y(t)=\frac{1}{4}t^{2}+\frac{7}{10}\sin(2t)-\frac{19}{40}\cos(2t)+\frac{3}{5}e^{t}-\frac{1}{8}.
Uma checagem rápida das condições iniciais (opcional, só para garantir): ao avaliar t=0 obtemos y(0)=0 e derivando e avaliando em 0 obtemos y'(0)=2, então as condições iniciais são satisfeitas.

Resposta

y(t)=\frac{1}{4}t^{2}+\frac{7}{10}\sin(2t)-\frac{19}{40}\cos(2t)+\frac{3}{5}e^{t}-\frac{1}{8}.

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