Resolva, usando as propriedades dos expoentes, as equações exponenciais.
(\sqrt[4]{4})^{x}=512

Passo 1

O enunciado pede: resolver a equação exponencial
(\sqrt[4]{4})^{x}=512.
Informações dadas:
  • A expressão à esquerda é a quarta raiz de 4 elevada à potência x.
  • O lado direito é o número 512.
    A tarefa é encontrar o valor de x que satisfaz essa igualdade.

Passo 2

Vamos lembrar duas propriedades fundamentais de potências que vamos usar (vou explicá‑las bem mastigadas):
  • Regra do expoente fracionário / raiz: a n-ésima raiz de a pode ser escrita como potência fracionária:
\sqrt[n]{a}=a^{1/n}.
Isto significa que a raiz é só uma potência com expoente 1/n. Por exemplo, \sqrt[4]{4}=4^{1/4}.
  • Regra da potência de potência: quando elevamos uma potência a outra potência, multiplicam‑se os expoentes:
\bigl(a^{b}\bigr)^{c}=a^{b\cdot c}.
Exemplo: \bigl(2^{3}\bigr)^{4}=2^{3\cdot4}=2^{12}.

Passo 3

Aplicando a definição de raiz como potência fracionária à esquerda da equação:
\sqrt[4]{4}=4^{1/4},
portanto
(\sqrt[4]{4})^{x}=(4^{1/4})^{x}.

Passo 4

Agora uso a regra da potência de potência para simplificar:
(4^{1/4})^{x}=4^{(1/4)\cdot x}=4^{x/4}.
Então a equação fica
4^{x/4}=512.

Passo 5

Para comparar as potências é conveniente escrever os dois lados com a mesma base. Observe que 4 e 512 são potências de 2:
4=2^{2}, \qquad 512=2^{9},
pois 2^{8}=256 e 2^{9}=512.

Passo 6

Substituindo 4=2^{2} em 4^{x/4} e usando novamente a regra da potência de potência:
4^{x/4}=(2^{2})^{x/4}=2^{2\cdot (x/4)}=2^{x/2}.
Assim a equação original passou a ser
2^{x/2}=2^{9}.

Passo 7

Quando duas potências têm a mesma base positiva diferente de 1, a igualdade implica que os expoentes são iguais. Logo:
\frac{x}{2}=9.
Resolvendo para x:
x=9\cdot 2=18.

Passo 8

Verificação rápida (para ter certeza): calcular a esquerda com x=18:
(\sqrt[4]{4})^{18}=4^{18/4}=4^{9/2}=(\sqrt{4})^{9}=2^{9}=512,
confirmando que x=18 está correto.

Resposta

x=18

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