Resolva, usando as propriedades dos expoentes, as equações exponenciais.
Passo 1
O enunciado pede: resolver a equação exponencial
Informações dadas:
- A expressão à esquerda é a quarta raiz de
elevada à potência . - O lado direito é o número
.
A tarefa é encontrar o valor deque satisfaz essa igualdade.
Passo 2
Vamos lembrar duas propriedades fundamentais de potências que vamos usar (vou explicá‑las bem mastigadas):
- Regra do expoente fracionário / raiz: a
-ésima raiz de pode ser escrita como potência fracionária:
Isto significa que a raiz é só uma potência com expoente
. Por exemplo,
.
- Regra da potência de potência: quando elevamos uma potência a outra potência, multiplicam‑se os expoentes:
Exemplo:
.
Passo 3
Aplicando a definição de raiz como potência fracionária à esquerda da equação:
portanto
Passo 4
Agora uso a regra da potência de potência para simplificar:
Então a equação fica
Passo 5
Para comparar as potências é conveniente escrever os dois lados com a mesma base. Observe que
e
são potências de
:
pois
e
.
Passo 6
Substituindo
em
e usando novamente a regra da potência de potência:
Assim a equação original passou a ser
Passo 7
Quando duas potências têm a mesma base positiva diferente de
, a igualdade implica que os expoentes são iguais. Logo:
Resolvendo para
:
Passo 8
Verificação rápida (para ter certeza): calcular a esquerda com
:
confirmando que
está correto.