Resolva, usando as propriedades dos expoentes, as equações exponenciais.
Passo 1
O enunciado dá a equação exponencial
e pede para encontrar o valor de
. As informações relevantes são:
- A expressão à esquerda tem base
e expoente . - O lado direito é o número inteiro
. - Quer-se o(s) valor(es) de
que tornam a igualdade verdadeira.
Passo 2
Um fato fundamental sobre potenciação que vamos usar (vou explicar por que serve): se temos uma base positiva diferente de
e duas potências dessa base são iguais, então os expoentes são iguais. Em símbolos:
Por que isso é verdade (intuição simples)? A função
com
é injetora (cada expoente dá um único valor); portanto não existem dois expoentes diferentes que produzam o mesmo valor de saída.
Passo 3
Aplicação prática: é muito útil reescrever os dois lados com a mesma base. Observe que
é potência de
. Fazendo multiplicações simples:
logo
Passo 4
Agora escrevemos a equação com a mesma base:
Pelo fato explicado no Passo 2 (mesma base
), os expoentes devem ser iguais:
Resolver essa equação linear é direto: somando
em ambos os lados,
Passo 5
Verificação rápida — sempre bom checar na prova: substituindo
na equação original,
que coincide com o lado direito. Portanto
é solução válida.