Resolva, usando as propriedades dos expoentes, as equações exponenciais.
3^{x-1}=27

Passo 1

O enunciado dá a equação exponencial
3^{x-1}=27
e pede para encontrar o valor de x. As informações relevantes são:
  • A expressão à esquerda tem base \,3 e expoente \,x-1.
  • O lado direito é o número inteiro 27.
  • Quer-se o(s) valor(es) de x que tornam a igualdade verdadeira.

Passo 2

Um fato fundamental sobre potenciação que vamos usar (vou explicar por que serve): se temos uma base positiva diferente de 1 e duas potências dessa base são iguais, então os expoentes são iguais. Em símbolos:
\text{Se }a>0,\\ a\neq1\text{ e }a^{u}=a^{v}\text{ então }u=v.ã
Por que isso é verdade (intuição simples)? A função a^{t} com a>0,\\ a\neq1 é injetora (cada expoente dá um único valor); portanto não existem dois expoentes diferentes que produzam o mesmo valor de saída.

Passo 3

Aplicação prática: é muito útil reescrever os dois lados com a mesma base. Observe que 27 é potência de 3. Fazendo multiplicações simples:
3\cdot3=9,\qquad 9\cdot3=27,
logo
27=3^{3}.

Passo 4

Agora escrevemos a equação com a mesma base:
3^{x-1}=3^{3}.
Pelo fato explicado no Passo 2 (mesma base 3\neq1), os expoentes devem ser iguais:
x-1=3.
Resolver essa equação linear é direto: somando 1 em ambos os lados,
x=3+1=4.

Passo 5

Verificação rápida — sempre bom checar na prova: substituindo x=4 na equação original,
3^{x-1}=3^{4-1}=3^{3}=27,
que coincide com o lado direito. Portanto x=4 é solução válida.

Resposta

x=4

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