Resolva usando Substituição Simples em Produtos e Quocientes
\n& \int \frac{3 x{2}}{\left(x{3}+1\right)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular
integral 3x^2l(x^3+1r)^2,dx
Aplicaremos o método de substituição simples, identificando uma parte da expressão cuja derivada apareça multiplicando.

Passo 2

Definimos a substituição
u = x^3 + 1
Em seguida, derivamos ambos os lados para encontrar du:
du = 3x^2,dx

Passo 3

Note que 3x^2,dx = du. Logo, a integral em x transforma-se em uma integral em u:
integral 3x^2(x^3+1)^2,dx = integral duu^2 = integral u^-2,du

Passo 4

Agora integramos em u. Sabemos que
integral u^n,du = u^n+1n+1 + C (para n neq -1)
Aqui n = -2, então
integral u^-2,du = u^-1-1 + C = -u^-1 + C

Passo 5

Voltando à variável original x, temos u = x^3+1. Assim, a antiderivada final é
-1x^3+1 + C

Resposta

-1x^3+1 + C

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