Resolva usando Substituição Simples em Produtos e Quocientes
\n& \int \frac{\sin x}{\cos ^{3} x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral sin xcos^3x,dx
usando substituição simples em produtos e quocientes. Vamos reconhecer que o denominador cos^3x sugere usar u=cos x.

Passo 2

Definimos
u = cos x,
então, diferenciando,
du = -sin x,dx
ou seja
sin x,dx = -,du

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
integral sin xcos^3x,dx = integral -,duu^3 = -integral u^-3,du

Passo 4

Agora integramos em u:
-integral u^-3,du = -(u^-2-2) + C = 12u^-2 + C

Passo 5

Voltando à variável x, como u=cos x, obtemos
12u^-2 + C = 12cos^2x + C = 12sec^2x + C

Resposta

integral sin xcos^3x,dx = 12cos^2x + C

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