Toste o teorema de Stokes
ointa s F cdot d X=integral duplas rot F cdot d N=integral duplas(nabla times F) cdot d N,
para
F(x, y, z)=(e^2 y, e^z x, x^2 z) e S: 4 x^2+y^2+4 z^2=4, y >= 0

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
F(x,y,z) = l(e^2y,,e^zx,,x^2zr)
e a superfície S definida pelo elipsoide
4x^2 + y^2 + 4z^2 = 4, y >= 0,
cujo contorno partial S é a curva no plano y=0 dada por
x^2 + z^2 = 1
Queremos usar o Teorema de Stokes para calcular
ointpartial S Fcdot dX.

Passo 2

Primeiro calculamos o rotacional de . Escrevendo
temos
Calculando derivadas:
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Passo 3

Em vez de integrar sobre a superfície elipsoidal (que daria um integral mais trabalhoso), aplicamos o Teorema de Stokes na forma
e escolhemos calcular diretamente o integral de linha
, sabendo que o resultado será o mesmo.

Passo 4

Parametrizamos o contorno partial S por
r(t) = (cos t,,0,,sin t), tin[0,2pi],
de modo que
r'(t) = (-sin t,,0,,cos t)
Em y=0 temos e^2y=1 e
;e^zx=e^(sin t)(cos t)=e^tfrac12sin2t,
mas esse termo multiplica a componente dy=0. Assim
Fl(r(t)r) = l(1,;e^tfrac12sin2t,;cos^2t,sin tr)

Passo 5

Calculamos o produto escalar
F(r(t))cdot r'(t) = 1cdot(-sin t) + e^tfrac12sin2tcdot 0 + cos^2t,sin tcdotcos t = -sin t + cos^3 t,sin t
Portanto
ointpartial S Fcdot dX = integral0^2pil(-sin t + cos^3t,sin tr),dt
Fazendo u=cos t em integralcos^3t,sin t,dt e lembrando que
integral0^2pisin t,dt=0, obtemos
integral0^2pi-sin t,dt = 0, integral0^2picos^3t,sin t,dt = 0,
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ointpartial S Fcdot dX = 0

Resposta

Pelo Teorema de Stokes,
ointpartial S Fcdot dX = integral duplaS (nablatimes F)cdot d N = 0

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