Toste o teorema de Stokes
para
Passo 1
O enunciado nos dá o campo vetorial
e a superfície
definida pelo elipsoide
cujo contorno
é a curva no plano
dada por
Queremos usar o Teorema de Stokes para calcular
.
Passo 2
Primeiro calculamos o rotacional de
. Escrevendo
temos
Calculando derivadas:
Logo
Passo 3
Em vez de integrar sobre a superfície elipsoidal (que daria um integral mais trabalhoso), aplicamos o Teorema de Stokes na forma
e escolhemos calcular diretamente o integral de linha
, sabendo que o resultado será o mesmo.
Passo 4
Parametrizamos o contorno
por
de modo que
Em
temos
e
,
mas esse termo multiplica a componente . Assim
mas esse termo multiplica a componente
Passo 5
Calculamos o produto escalar
Portanto
Fazendo
em
e lembrando que
, obtemos
logo
Resposta
Pelo Teorema de Stokes,