Use uma soma de Riemann com m=n=2 para estimar o valor de integral duplaR x e^-π d A, onde R=[0,2] times[0,1]. Tome os pontos de amostragem como os cantos superiores direitos.

Passo 1

O enunciado pede para estimar
integral duplaR x,e^-pi,dA
sobre R=[0,2]times[0,1] usando uma soma de Riemann com m=n=2 e pontos de amostragem nos cantos superiores direitos. O conteúdo aqui é construção de soma de Riemann para integrais duplas.

Passo 2

Dividimos o intervalo em x e em y em duas partes cada. Logo,
De<a x = 2-02 = 1, De<a y = 1-02 = 0,5

Passo 3

Cada subretângulo tem área
De<a A = De<a x cdot De<a y = 1 cdot 0,5 = 0,5
Como são 2times2=4 subregiões, a soma de Riemann terá 4 termos.

Passo 4

Os cantos superiores direitos de cada subretângulo são
(1,0,5),(2,0,5),(1,1),(2,1)
Em cada ponto (x^*,y^*) avaliamos
f(x^*,y^*) = x^*,e^-pi

Passo 5

A soma de Riemann fica
sum f(x^*,y^*),De<a A = l(1e^-pi + 2e^-pi + 1e^-pi + 2e^-pir)cdot 0,5 = 3,e^-pi

Resposta

A estimativa da integral é 3,e^-pi.

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