Resolva, utilizando autovalores e autovetores, os seguintes sistemas de equações diferenciais de primeira ordem:
\left\{\begin{array}{l}x_{1}{ }^{\prime}(t)=x_{1}(t)-x_{2}(t) \\\ x_{2}{ }^{\prime}(t)=5 x_{1}(t)+3 x_{2}(t)\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema de primeira ordem dado por
\begin{cases} x_{1}'(t)=x_{1}(t)-x_{2}(t),\\\ x_{2}'(t)=5\,x_{1}(t)+3\,x_{2}(t) \end{cases}
usando autovalores e autovetores. O conteúdo é resolução de sistemas lineares homogêneos com coeficientes constantes via diagonalização (ou forma complexa).

Passo 2

Escrevemos o sistema na forma vetorial
\mathbf{x}'(t)=A\,\mathbf{x}(t),
onde
\mathbf{x}(t)=\begin{pmatrix}x_{1}(t)\x_{2}(t)\end{pmatrix}, \quad A=\begin{pmatrix}1 & -1\\\ 5 & 3\end{pmatrix}.

Passo 3

Calculamos o polinômio característico de A:
\det(A-\lambda I) =(1-\lambda)(3-\lambda)-(-1)\cdot5 =\lambda^{2}-4\lambda+8.
Igualando a zero, obtemos
\lambda^{2}-4\lambda+8=0 \quad\Rightarrow\quad \lambda=2\pm2\,\mathrm{i}.

Passo 4

Para \lambda=2+2\,\mathrm{i}, resolvemos (A-\lambda I)\mathbf{v}=0. Isso dá
\bigl(1-(2+2\,\mathrm{i})\bigr)v_{1}-v_{2}=0 \quad\Rightarrow\quad (-1-2\,\mathrm{i})v_{1}-v_{2}=0
escolhendo v_{1}=1, resulta
v_{2}=-1-2\,\mathrm{i},
logo um autovetor é
\mathbf{v}=\begin{pmatrix}1\\\ -1-2\,\mathrm{i}\end{pmatrix}.

Passo 5

A solução complexa associada é
\mathbf{x}_{\!c}(t) =e^{(2+2\,\mathrm{i})t} \begin{pmatrix}1\\\ -1-2\,\mathrm{i}\end{pmatrix}.
Escrevendo e^{(2+2\,\mathrm{i})t}=e^{2t}(\cos2t+\mathrm{i}\sin2t) e multiplicando pelo vetor, obtemos parte real e imaginária que são duas soluções reais independentes.

Passo 6

Extraindo a parte real e imaginária, definimos
\mathbf{u}(t)=e^{2t} \begin{pmatrix} \cos2t\\\\ -\,\cos2t+2\,\sin2t \end{pmatrix}, \quad \mathbf{w}(t)=e^{2t} \begin{pmatrix} \sin2t\\\\ -\,\sin2t-2\,\cos2t \end{pmatrix},
que formam base de soluções reais.

Passo 7

Como o sistema é linear e homogêneo, a solução geral é combinação linear das duas:
\mathbf{x}(t) =C_{1}\,\mathbf{u}(t)+C_{2}\,\mathbf{w}(t),
ou seja
\begin{pmatrix}x_{1}(t)\x_{2}(t)\end{pmatrix} =e^{2t}\Bigl[ C_{1} \begin{pmatrix} \cos2t\\\\ -\,\cos2t+2\,\sin2t \end{pmatrix} + C_{2} \begin{pmatrix} \sin2t\\\\ -\,\sin2t-2\,\cos2t \end{pmatrix} \Bigr].

Resposta

\boxed{ \begin{pmatrix}x_{1}(t)\x_{2}(t)\end{pmatrix} =e^{2t}\Bigl[ C_{1} \begin{pmatrix} \cos2t\\\\ -\,\cos2t+2\,\sin2t \end{pmatrix} + C_{2} \begin{pmatrix} \sin2t\\\\ -\,\sin2t-2\,\cos2t \end{pmatrix} \Bigr], }
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitárias.

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