Resolva utilizando o método da bissecção, como critério de parada, considere o Erro Absoluto
:
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para aproximar uma raiz real de
usando o método da bissecção. O critério de parada é o erro absoluto
.
Informações relevantes:
- A função é
. - Critério de parada adotado: erro absoluto
. - Precisamos encontrar um intervalo inicial
tal que e tenham sinais opostos (ou seja, ), pois isso garante existência de raiz pelo teorema do valor intermediário.
O que será entregue ao final:
- Uma aproximação da raiz obtida pelo método da bissecção que satisfaça o critério
. - (Vou mostrar as contas passo a passo e explicar cada fórmula usada.)
Passo 2
Explicando o método da bissecção de modo prático e sem jargões:
- Objetivo: reduzir um intervalo
que contém uma raiz até que o intervalo seja suficientemente pequeno. - Condição inicial: escolher
e com . - Iteração: calcular o ponto médio
e avaliar . - Se
(caso ideal), é a raiz. - Se
tem o mesmo sinal de , então a raiz está em (portanto atualiza-se ). - Se
tem o mesmo sinal de , então a raiz está em (portanto atualiza-se ).
- Se
- Critério de parada prático para erro absoluto: parar quando
Esse número é uma estimativa do erro máximo possível entre o ponto médio atual e a raiz real.
Observação sobre
: quando for necessário avaliar
, será usada a aproximação
e potências/exponenciais com precisão suficiente para o critério pedido.
Passo 3
Escolher intervalo inicial
.
Avalio a função em
e
para ver sinais:
Como
e
, há mudança de sinal em
. Logo podemos usar
e
.
Passo 4
Primeira iteração:
Avaliar
:
Usando
,
Portanto
. Como
tem mesmo sinal que
, a raiz está no subintervalo
(ou seja, atualizamos
), ficando:
Passo 5
Segunda iteração:
Avaliar
:
Usando
,
Agora
e
, então a raiz está em
. Atualizamos
,
.
Passo 6
Terceira iteração:
Avaliar
:
Usando
,
Portanto
e
, então a raiz está em
. Atualizamos
,
.
Passo 7
Verificar o critério de parada com o intervalo atual
.
O erro estimado (metade do comprimento do intervalo) é
Como
, o critério de parada está satisfeito. Portanto podemos parar e tomar como aproximação da raiz o ponto médio do intervalo atual:
Passo 8
(Para dar confiança) calcular
para ver quão pequeno é o resíduo:
Usando
,
O valor de
é pequeno (próximo de zero), o que confirma que
é uma boa aproximação.