Resolva utilizando o método da bissecção, como critério de parada, considere o Erro Absoluto \operatorname{com} \varepsilon=0,1 :
f(x)=x e^{x}-1.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x e^{x}-1 e pede para aproximar uma raiz real de f usando o método da bissecção. O critério de parada é o erro absoluto \varepsilon=0,1.
Informações relevantes:
  • A função é f(x)=x e^{x}-1.
  • Critério de parada adotado: erro absoluto \varepsilon=0,1.
  • Precisamos encontrar um intervalo inicial [a,b] tal que f(a) e f(b) tenham sinais opostos (ou seja, f(a)\cdot f(b)<0), pois isso garante existência de raiz pelo teorema do valor intermediário.
O que será entregue ao final:
  • Uma aproximação da raiz obtida pelo método da bissecção que satisfaça o critério |b-a|/2\le\varepsilon.
  • (Vou mostrar as contas passo a passo e explicar cada fórmula usada.)

Passo 2

Explicando o método da bissecção de modo prático e sem jargões:
  • Objetivo: reduzir um intervalo [a,b] que contém uma raiz até que o intervalo seja suficientemente pequeno.
  • Condição inicial: escolher a e b com f(a)\cdot f(b)<0.
  • Iteração: calcular o ponto médio c=\dfrac{a+b}{2} e avaliar f\text{(c)}.
    • Se f\text{(c)}=0 (caso ideal), c é a raiz.
    • Se f\text{(c)} tem o mesmo sinal de f(a), então a raiz está em [c,b] (portanto atualiza-se a\leftarrow c).
    • Se f\text{(c)} tem o mesmo sinal de f(b), então a raiz está em [a,c] (portanto atualiza-se b\leftarrow c).
  • Critério de parada prático para erro absoluto: parar quando \frac{b-a}{2}\le\varepsilon.Esse número \dfrac{b-a}{2} é uma estimativa do erro máximo possível entre o ponto médio atual e a raiz real.
Observação sobre e: quando for necessário avaliar e^{x}, será usada a aproximação e\approx2,7182818 e potências/exponenciais com precisão suficiente para o critério pedido.

Passo 3

Escolher intervalo inicial [a,b].
Avalio a função em x=0 e x=1 para ver sinais:
f(0)=0\cdot e^{0}-1=-1.
f(1)=1\cdot e^{1}-1=e-1\approx2,7182818-1=1,7182818>0.
Como f(0)=-1<0 e f(1)>0, há mudança de sinal em [0,1]. Logo podemos usar a=0 e b=1.

Passo 4

Primeira iteração:
c_1=\frac{a+b}{2}=\frac{0+1}{2}=0,5.
Avaliar f(c_1):
f(0,5)=0,5\cdot e^{0,5}-1.
Usando e^{0,5}\approx1,64872127,
f(0,5)\approx0,5\cdot1,64872127-1=0,82436064-1=-0,17563936.
Portanto f(0,5)<0. Como f(0,5) tem mesmo sinal que f(0), a raiz está no subintervalo [0,5,\,1] (ou seja, atualizamos a\leftarrow0,5), ficando:
a=0,5,\quad b=1.

Passo 5

Segunda iteração:
c_2=\frac{a+b}{2}=\frac{0,5+1}{2}=0,75.
Avaliar f(c_2):
f(0,75)=0,75\cdot e^{0,75}-1.
Usando e^{0,75}\approx2,11700002,
f(0,75)\approx0,75\cdot2,11700002-1=1,587750015-1=0,587750015>0.
Agora f(0,75)>0 e f(0,5)<0, então a raiz está em [0,5,\,0,75]. Atualizamos a=0,5, b=0,75.

Passo 6

Terceira iteração:
c_3=\frac{a+b}{2}=\frac{0,5+0,75}{2}=0,625.
Avaliar f(c_3):
f(0,625)=0,625\cdot e^{0,625}-1.
Usando e^{0,625}\approx1,86824596,
f(0,625)\approx0,625\cdot1,86824596-1=1,167653725-1=0,167653725>0.
Portanto f(0,625)>0 e f(0,5)<0, então a raiz está em [0,5,\,0,625]. Atualizamos a=0,5, b=0,625.

Passo 7

Verificar o critério de parada com o intervalo atual [a,b]=[0,5,\,0,625].
O erro estimado (metade do comprimento do intervalo) é
\frac{b-a}{2}=\frac{0,625-0,5}{2}=\frac{0,125}{2}=0,0625.
Como 0,0625\le\varepsilon=0,1, o critério de parada está satisfeito. Portanto podemos parar e tomar como aproximação da raiz o ponto médio do intervalo atual:
\hat{x}=\frac{a+b}{2}=\frac{0,5+0,625}{2}=0,5625.

Passo 8

(Para dar confiança) calcular f(\hat{x}) para ver quão pequeno é o resíduo:
f(0,5625)=0,5625\cdot e^{0,5625}-1.
Usando e^{0,5625}\approx1,75505466,
f(0,5625)\approx0,5625\cdot1,75505466-1=0,98721821-1=-0,01278179.
O valor de f(\hat{x}) é pequeno (próximo de zero), o que confirma que 0,5625 é uma boa aproximação.

Resposta

x\approx0,5625

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