Converter para binário os seguintes números decimais:
e) 10,05
e) 10,05
Passo 1
O que o enunciado pede: converter o número decimal
(base decimal) para base binária (base
).
Informações dadas: o número é . A resposta deve ser o mesmo número escrito em base
.
Informações dadas: o número é
Passo 2
Como vamos proceder (explicação didática do método): dividir a tarefa em duas partes — converter a parte inteira
e converter a parte fracionária
.
- Para a parte inteira usa-se o método das divisões sucessivas por
: dividir por , anotar o resto (que será ou ), e continuar com o quociente até chegar a . Os restos lidos de baixo para cima formam os dígitos binários da parte inteira. - Para a parte fracionária usa-se multiplicações sucessivas por
: multiplicar a fração por ; a parte inteira do resultado ( ou ) é o próximo dígito binário da fração; repete-se com a nova parte fracionária. Se uma mesma parte fracionária aparecer de novo, os dígitos a partir dali repetem (ciclo periódico).
Passo 3
Converter a parte inteira
usando divisões por
. Escrevo as igualdades com quociente e resto:
Os restos, lidos de baixo para cima, são
. Portanto a parte inteira em binário é
. Em outras palavras,
Passo 4
Converter a parte fracionária
por multiplicações por
. Vou mostrar várias multiplicações até aparecer um valor fracionário já visto (para detectar repetição). Cada linha indica o produto e qual dígito binário gera:
Neste ponto a parte fracionária voltou a ser
, que já apareceu acima. Isso significa que os dígitos a partir dali vão repetir. Juntando os dígitos obtidos na ordem:
Observa-se que, após os dois primeiros zeros, surge o bloco periódico
que se repete. Logo a representação binária da fração é
onde
indica que o grupo de quatro dígitos
se repete infinitamente.
Dica rápida de teoria aplicada:
. Como
tem fatores primos além de
(
), a representação em base
não é finita — por isso aparece repetição.
Passo 5
Vou verificar numericamente (prova rápida) que
. Primeiro calcule o valor do bloco periódico: os dígitos
aparecem nas posições
e
do primeiro bloco (pois os quatro primeiros bits são posições
e os
aparecem nas posições 5 e 6 contando desde o ponto). O valor do primeiro bloco não nulo é
Cada repetição do bloco desloca o peso por
posições, isto é, multiplica por
. Então a soma infinita vale a soma geométrica
E
, confirmação perfeita.
Passo 6
Combino parte inteira e parte fracionária: a parte inteira deu
e a parte fracionária deu
. Portanto