Converter para binário os seguintes números decimais:
e) 10,05

Passo 1

O que o enunciado pede: converter o número decimal 10,05 (base decimal) para base binária (base 2).
Informações dadas: o número é 10,05_{10}. A resposta deve ser o mesmo número escrito em base 2.

Passo 2

Como vamos proceder (explicação didática do método): dividir a tarefa em duas partes — converter a parte inteira 10 e converter a parte fracionária 0,05.
  • Para a parte inteira usa-se o método das divisões sucessivas por 2: dividir por 2, anotar o resto (que será 0 ou 1), e continuar com o quociente até chegar a 0. Os restos lidos de baixo para cima formam os dígitos binários da parte inteira.
  • Para a parte fracionária usa-se multiplicações sucessivas por 2: multiplicar a fração por 2; a parte inteira do resultado ( 0 ou 1 ) é o próximo dígito binário da fração; repete-se com a nova parte fracionária. Se uma mesma parte fracionária aparecer de novo, os dígitos a partir dali repetem (ciclo periódico).

Passo 3

Converter a parte inteira 10 usando divisões por 2. Escrevo as igualdades com quociente e resto:
10 = 2\cdot 5 + 0
5 = 2\cdot 2 + 1
2 = 2\cdot 1 + 0
1 = 2\cdot 0 + 1
Os restos, lidos de baixo para cima, são 1,0,1,0. Portanto a parte inteira em binário é 1010. Em outras palavras,
10_{10} = 1010_2.

Passo 4

Converter a parte fracionária 0,05 por multiplicações por 2. Vou mostrar várias multiplicações até aparecer um valor fracionário já visto (para detectar repetição). Cada linha indica o produto e qual dígito binário gera:
0,05\times 2 = 0,10 \quad\Rightarrow\quad \text{dígito }0í
0,10\times 2 = 0,20 \quad\Rightarrow\quad \text{dígito }0í
0,20\times 2 = 0,40 \quad\Rightarrow\quad \text{dígito }0í
0,40\times 2 = 0,80 \quad\Rightarrow\quad \text{dígito }0í
0,80\times 2 = 1,60 \quad\Rightarrow\quad \text{dígito }1 \quad(\text{parte fracionária }0,60)íá
0,60\times 2 = 1,20 \quad\Rightarrow\quad \text{dígito }1 \quad(\text{parte fracionária }0,20)íá
Neste ponto a parte fracionária voltou a ser 0,20, que já apareceu acima. Isso significa que os dígitos a partir dali vão repetir. Juntando os dígitos obtidos na ordem:
0,05_{10} \to 0\,0\,0\,0\,1\,1\,0\,0\,1\,1\ldots_2
Observa-se que, após os dois primeiros zeros, surge o bloco periódico 0\,0\,1\,1 que se repete. Logo a representação binária da fração é
0,05_{10} = 0,00(0011)_2,
onde (0011) indica que o grupo de quatro dígitos 0011 se repete infinitamente.
Dica rápida de teoria aplicada: 0,05 = \dfrac{5}{100} = \dfrac{1}{20}. Como 20 tem fatores primos além de 2 ( 20=2^2\cdot5 ), a representação em base 2 não é finita — por isso aparece repetição.

Passo 5

Vou verificar numericamente (prova rápida) que 0,00(0011)_2 = 0,05_{10}. Primeiro calcule o valor do bloco periódico: os dígitos 1 aparecem nas posições 2^{-5} e 2^{-6} do primeiro bloco (pois os quatro primeiros bits são posições 2^{-1},2^{-2},2^{-3},2^{-4} e os 1 aparecem nas posições 5 e 6 contando desde o ponto). O valor do primeiro bloco não nulo é
S = 2^{-5}+2^{-6} = \frac{1}{32}+\frac{1}{64}=\frac{3}{64}.
Cada repetição do bloco desloca o peso por 4 posições, isto é, multiplica por 2^{-4}=\tfrac{1}{16}. Então a soma infinita vale a soma geométrica
F = S\left(1 + \frac{1}{16} + \frac{1}{16^2} + \cdots\right) = \frac{S}{1-\tfrac{1}{16}} = \frac{\tfrac{3}{64}}{1-\tfrac{1}{16}} = \frac{\tfrac{3}{64}}{\tfrac{15}{16}} = \frac{3}{64}\cdot\frac{16}{15} = \frac{48}{960} = \frac{1}{20}.
E \tfrac{1}{20} = 0,05, confirmação perfeita.

Passo 6

Combino parte inteira e parte fracionária: a parte inteira deu 1010 e a parte fracionária deu 0,00(0011)_2. Portanto
10,05_{10} = 1010,00(0011)_2.

Resposta

\,10{,}05_{10} = 1010{,}00(0011)_2

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