Resolva utilizando substituição trigonométrica
integral d xx^2 raizx^2-5

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral dxx^2raizx^2-5
usando substituição trigonométrica. Aqui o conteúdo é escolher uma substituição que elimine a raiz raizx^2-5 e depois voltar à variável x.

Passo 2

Como temos raizx^2-5, fazemos
x = raiz5,sectheta,
porque aí
raizx^2-5 = raiz5,sec^2theta - 5 = raiz5,tantheta
Além disso
dx = raiz5,secthetatantheta,dtheta

Passo 3

Substituindo na integral original, o numerador dx vira raiz5secthetatantheta,dtheta e o denominador
x^2,raizx^2-5 = l(raiz5secthetar)^2cdotl(raiz5tanthetar) =5sec^2theta;raiz5tantheta =5raiz5,sec^2thetatantheta
Logo a integral fica
integral raiz5secthetatantheta,dtheta5raiz5,sec^2thetatantheta = integral 15,secthetatanthetasec^2thetatantheta,dtheta = 15integral 1sectheta,dtheta = 15integral costheta,dtheta

Passo 4

A integral de costheta é simples:
15integral costheta,dtheta = 15,sintheta + C

Passo 5

Volta para x: da substituição sectheta = x/raiz5 temos
costheta = raiz5x,
e
tantheta = raizx^2-5raiz5
Então
sintheta = tanthetacostheta = raizx^2-5raiz5cdotraiz5x = raizx^2-5x
Portanto a primitiva fica
15,sintheta + C = 15,raizx^2-5x + C

Resposta

integral dxx^2raizx^2-5 = raizx^2-55,x + C

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