Resolva utilizando substituição trigonométrica
integral x^3raizx^2-9 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral x^3raizx^2-9,dx
usando substituição trigonométrica. O conteúdo aqui é a técnica de substituir x=asec(t) para integrandos que envolvem raizx^2-a^2.

Passo 2

Escolhemos a troca
x = 3sec(t), dx = 3sec(t)tan(t),dt, raizx^2-9 = raiz9sec^2(t)-9 = 3tan(t)

Passo 3

Substituindo em integral x^3raizx^2-9,dx temos
x^3=(3sec t)^3=27sec^3t, raizx^2-9=3tan t, dx=3sec ttan t,dt,
então
integral 27sec^3t3tan t,l(3sec ttan t,dtr) =integral 27sec^4t,dt

Passo 4

Para integrar integral sec^4t,dt, escrevemos sec^4t=sec^2tcdotsec^2t e usamos a identidade sec^2t=tan^2t+1. Assim
integral sec^4t,dt =integral sec^2t(tan^2t+1),dt =integral sec^2t,dt+integral sec^2ttan^2t,dt
Na segunda parcela, façamos u=tan t, du=sec^2t,dt, obtendo
integral sec^2t,dt = tan t, integral sec^2ttan^2t,dt = integral u^2,du = u^33 = tan^3t3
Logo
integral sec^4t,dt =tan t + tan^3t3 + C Longrightarrow integral 27sec^4t,dt =27tan t + 9tan^3t + C

Passo 5

Voltando a x, como tan t = raizx^2-93, temos
27tan t = 27cdotraizx^2-93 = 9raizx^2-9, 9tan^3t = 9cdot(raizx^2-9)^327 =(x^2-9)^tfrac323
Portanto a integral fica
integral x^3raizx^2-9,dx =9raizx^2-9 ;+;(x^2-9)^tfrac323+C

Resposta

9raizx^2-9 ;+;(x^2-9)^tfrac323+C

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