Use o Método dos Multiplicadores de Lagrange para encontrar o valor máximo de
sujeito à restrição
.
Resposta: Valor máximo
Resposta: Valor máximo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor máximo da função
sujeita à restrição
. Para isso, vamos usar o Método dos Multiplicadores de Lagrange, que ajuda a encontrar máximos e mínimos de funções com restrições.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são os multipliers de Lagrange. Basicamente, a gente cria uma nova função chamada Lagrangiana, que combina a função que queremos otimizar com a restrição. A fórmula fica assim:
No nosso caso,
e
. Então, a Lagrangiana fica:
Passo 3
Agora, a gente precisa achar as derivadas parciais da Lagrangiana em relação a cada variável (
) e do multiplicador (
), e igualar todas a zero. Isso nos dá um sistema de equações.
Vamos calcular cada derivada:
- Com relação a
:
- Com relação a
:
- Com relação a
:
- Com relação a
:
Passo 4
Vamos resolver o sistema de equações:
-
Da primeira equação:
. Isso significa que ou ou . -
Da segunda equação:
. Então, ou ou . -
Da terceira equação:
. -
Da quarta equação:
.
Vamos analisar os casos:
Caso 1:
- Da terceira equação:
. Impossível. Então, .
Caso 2:
- Da segunda equação, podemos ter
ou .
Subcaso 2.1:
-
Da terceira equação:
. -
Da quarta equação:
. -
Então,
. Se , . Se , .
Subcaso 2.2:
-
Da terceira equação:
. -
Da quarta equação:
. -
Mas já sabíamos que
, então .
Passo 5
Agora, vamos calcular os valores da função
para cada caso:
Subcaso 2.1:
- Quando
e :
- Quando
e :
Subcaso 2.2:
- Quando
e :
- Quando
e :
Resposta
O valor máximo de
sujeito à restrição
é 61.