Use o Método dos Multiplicadores de Lagrange para encontrar o valor máximo de f(x, y, z)=y^2-10 z sujeito à restrição x^2+y^2+z^2=36.
Resposta: Valor máximo =61

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor máximo da função f(x, y, z) = y^2 - 10z sujeita à restrição x^2 + y^2 + z^2 = 36 . Para isso, vamos usar o Método dos Multiplicadores de Lagrange, que ajuda a encontrar máximos e mínimos de funções com restrições.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são os multipliers de Lagrange. Basicamente, a gente cria uma nova função chamada Lagrangiana, que combina a função que queremos otimizar com a restrição. A fórmula fica assim:
L(x, y, z, lambda) = f(x, y, z) - lambda (g(x, y, z) - c)
No nosso caso, g(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 e c = 36 . Então, a Lagrangiana fica:
L(x, y, z, lambda) = y^2 - 10z - lambda (x^2 + y^2 + z^2 - 36)

Passo 3

Agora, a gente precisa achar as derivadas parciais da Lagrangiana em relação a cada variável ( x, y, z ) e do multiplicador ( lambda ), e igualar todas a zero. Isso nos dá um sistema de equações.
Vamos calcular cada derivada:
  1. Com relação a x :
partial Lpartial x = -2lambda x = 0
  1. Com relação a y :
partial Lpartial y = 2y - 2lambda y = 0
  1. Com relação a z :
partial Lpartial z = -10 - 2lambda z = 0
  1. Com relação a lambda :
partial Lpartial lambda = -(x^2 + y^2 + z^2 - 36) = 0

Passo 4

Vamos resolver o sistema de equações:
  1. Da primeira equação: -2lambda x = 0 . Isso significa que ou lambda = 0 ou x = 0 .
  2. Da segunda equação: 2y - 2lambda y = 0 Rightarrow y(1 - lambda) = 0 . Então, ou y = 0 ou lambda = 1 .
  3. Da terceira equação: -10 - 2lambda z = 0 Rightarrow 2lambda z = -10 Rightarrow lambda z = -5 .
  4. Da quarta equação: x^2 + y^2 + z^2 = 36 .
Vamos analisar os casos:
Caso 1: lambda = 0
  • Da terceira equação: 0 cdot z = -5 Rightarrow 0 = -5 . Impossível. Então, lambda neq 0 .
Caso 2: x = 0
  • Da segunda equação, podemos ter y = 0 ou lambda = 1 .
Subcaso 2.1: y = 0
  • Da terceira equação: lambda z = -5 .
  • Da quarta equação: 0 + 0 + z^2 = 36 Rightarrow z^2 = 36 Rightarrow z = pm6 .
  • Então, lambda = -5 / z . Se z = 6 , lambda = -5/6 . Se z = -6 , lambda = 5/6 .
Subcaso 2.2: lambda = 1
  • Da terceira equação: z = -5 .
  • Da quarta equação: x^2 + y^2 + (-5)^2 = 36 Rightarrow x^2 + y^2 = 11 .
  • Mas já sabíamos que x = 0 , então y^2 = 11 Rightarrow y = pmraiz11 .

Passo 5

Agora, vamos calcular os valores da função f(x, y, z) = y^2 - 10z para cada caso:
Subcaso 2.1:
  1. Quando z = 6 e y = 0 :
f = 0^2 - 10 cdot 6 = -60
  1. Quando z = -6 e y = 0 :
f = 0^2 - 10 cdot (-6) = 60
Subcaso 2.2:
  1. Quando y = raiz11 e z = -5 :
f = (raiz11)^2 - 10 cdot (-5) = 11 + 50 = 61
  1. Quando y = -raiz11 e z = -5 :
f = (-raiz11)^2 - 10 cdot (-5) = 11 + 50 = 61

Resposta

O valor máximo de f(x, y, z) = y^2 - 10z sujeito à restrição x^2 + y^2 + z^2 = 36 é 61.

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