Resolva por variação dos parâmetros.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial do segundo grau usando o método da variação dos parâmetros. A equação que temos é:
Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois adicionar uma solução particular usando a variação dos parâmetros.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea:
Essa é uma equação diferencial linear de segundo grau com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que a gente determina com as condições iniciais.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) usando a variação dos parâmetros. A ideia é assumir que as constantes
e
não são mais constantes, mas sim funções de
, ou seja,
e
. Então, nossa solução particular fica:
Para encontrar
e
, precisamos derivar
e substituir na equação original. Fazendo as derivadas:
Para simplificar, impomos que:
E substituímos na equação original para encontrar uma equação para
e
:
Resolvido, encontramos:
Agora, integramos para encontrar
e
:
Desconsideramos as constantes de integração pois já estão incluídas na solução geral.
Passo 4
Substituímos
e
na expressão de
:
Simplificando:
Parece que houve um erro na simplificação. Vamos refazer:
Na verdade:
Então:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.