Resolva por variação dos parâmetros.
d^2 yd x^2+y=tg x sec x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial do segundo grau usando o método da variação dos parâmetros. A equação que temos é:
d^2 yd x^2 + y = tan x sec x
Para resolver, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois adicionar uma solução particular usando a variação dos parâmetros.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea:
d^2 yd x^2 + y = 0
Essa é uma equação diferencial linear de segundo grau com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação homogênea é:
yc = C1 cos x + C2 sin x
Aqui, C1 e C2 são constantes que a gente determina com as condições iniciais.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( yp) usando a variação dos parâmetros. A ideia é assumir que as constantes C1 e C2 não são mais constantes, mas sim funções de x, ou seja, u1(x) e u2(x). Então, nossa solução particular fica:
yp = u1(x) cos x + u2(x) sin x
Para encontrar u1(x) e u2(x), precisamos derivar yp e substituir na equação original. Fazendo as derivadas:
dypdx = u1' cos x - u1 sin x + u2' sin x + u2 cos x
d^2ypdx^2 = (u1'' cos x - 2u1' sin x - u1 cos x) + (u2'' sin x + 2u2' cos x - u2 sin x)
Para simplificar, impomos que:
u1' cos x + u2' sin x = 0
E substituímos na equação original para encontrar uma equação para u1' e u2':
-yp + d^2ypdx^2 + yp = tan x sec x
Resolvido, encontramos:
u1' = -tan x sec x sin x = -sec^2 x
u2' = tan x sec x cos x = sec^2 x tan x cos x = sec x tan x
Agora, integramos para encontrar u1 e u2:
u1 = -integral sec^2 x , dx = -tan x + C
u2 = integral sec x tan x , dx = sec x + C
Desconsideramos as constantes de integração pois já estão incluídas na solução geral.

Passo 4

Substituímos u1 e u2 na expressão de yp:
yp = (-tan x) cos x + (sec x) sin x
Simplificando:
yp = -sin x + sin x = 0
Parece que houve um erro na simplificação. Vamos refazer:
Na verdade:
(-tan x) cos x = -sin x
(sec x) sin x = tan x
Então:
yp = -sin x + tan x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = C1 cos x + C2 sin x + tan x - sin x
Onde C1 e C2 são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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