(Vôo subsônico) Nos aviões subsônicos, a eficiência dos motores depende da pressão do ar, sendo usualmente máxima a uma altitude de cerca de 36.000 pés*. Encontre a pressão do ar y(x) nessa altitude, sem fazer cálculos. Informação fisica. A taxa de variação y^prime(x) é proporcional à pressão e, a 18.000 pés, a pressão tem a metade do seu valor y0 ao nível do mar.
(vide ex. 21)

Passo 1

O enunciado pede a pressão do ar y(x) em função da altitude x (em pés), sabendo que a taxa de variação ,y'(x) é proporcional a y(x), que ao nível do mar ( x=0) vale y0, e que em x=18.000 pés a pressão é metade de y0.

Passo 2

Como ,y'(x) é proporcional a y(x), temos a equação diferencial
y'(x) = k,y(x),
cuja solução geral é a exponencial
y(x) = C,e^k x

Passo 3

Usando as condições:
  1. Ao nível do mar, x=0, tem-se y(0)=y0, logo
C = y0
  1. Em x=18.000, y(18.000)=tfracy02, logo
y0,e^kcdot 18.000 = y02 Longrightarrow e^kcdot 18.000 = 12 Longrightarrow k = -ln 218.000

Passo 4

Para x=36.000 pés, basta dobrar a altitude de 18.000 e notar que a pressão cai mais uma vez pela metade:
y(36.000) = y0,e^kcdot 36.000 = y0,e^-2ln 2 = y0,l(e^ln 2r)^-2 = y02^2 = y04

Resposta

y(36.000) = y04

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