Resolva para x : (aqui log x=log 10 x )
log (x-raiz6)+log (x+raiz6)=1

Passo 1

Temos a equação logarítmica log (x - raiz6) + log (x + raiz6) = 1. Vamos resolver isso passo a passo usando propriedades dos logaritmos e álgebra básica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a soma de logaritmos pode ser transformada em um único logaritmo multiplicando os termos. A propriedade é: log a + log b = log (a cdot b). Aplicando isso:
log ( (x - raiz6)(x + raiz6) ) = 1

Passo 3

Agora, simplificamos a expressão dentro do logaritmo. Reconhecemos que (x - raiz6)(x + raiz6) é uma diferença de quadrados, que se calcula como x^2 - (raiz6)^2 = x^2 - 6. Então, temos:
log (x^2 - 6) = 1

Passo 4

Para eliminar o logaritmo, usamos a definição de logaritmo: se log10 A = B, então A = 10^B. Aplicando isso à nossa equação:
x^2 - 6 = 10^1
x^2 - 6 = 10

Passo 5

Agora, resolvemos a equação quadrática resultante:
x^2 - 6 = 10
x^2 = 16
x = pm 4

Passo 6

Precisamos verificar se as soluções encontradas são válidas no contexto da equação original, ou seja, os argumentos dos logaritmos devem ser positivos.
Para x = 4:
  • 4 - raiz6 > 0
  • 4 + raiz6 > 0
Ambas as expressões são positivas, então x = 4 é válido.
Para x = -4:
  • -4 - raiz6 < 0
  • -4 + raiz6 pode ser positivo ou negativo, mas pelo menos um argumento é negativo, o que não é permitido.
Portanto, x = -4 não é uma solução válida.

Resposta

x = 4

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