Resolva
.
Passo 1
O exercício é um EDO linear homogênea de 3º ordem com coeficientes constantes e condições iniciais em x=π. Vamos usar o polinômio característico e a transformada de Laplace para encaixar as três condições iniciais de forma sistemática.
Passo 2
Escrevendo a equação característica associada à EDO temos
Chamemos suas raízes de
. Como não há raiz racional, mantemos-nas simbólicas.
Passo 3
A solução geral da EDO é
Para aplicar as condições em
com mais facilidade, fazemos a mudança de variável
e
satisfaz a mesma equação diferencial.
Passo 4
Aplicamos Laplace em
. Como
, obtemos
e pelo teor do transformado, o lado direito vira apenas
. Logo
Passo 5
Fazendo decomposição em frações parciais escrevemos
onde, por álgebra de frações parciais, cada coeficiente é
Passo 6
Voltando pela transformada inversa, temos
Rebatendo a mudança de variável
, a solução final é
com
Resposta
Sejam
as raízes de
e definamos
Então a solução que satisfaz
é