Resolva y^prime prime prime+6 y^prime prime+11 y^prime-6 y=0 ; y(pi)=0, y^prime(pi)=0, y^prime prime(pi)=1.

Passo 1

O exercício é um EDO linear homogênea de 3º ordem com coeficientes constantes e condições iniciais em x=π. Vamos usar o polinômio característico e a transformada de Laplace para encaixar as três condições iniciais de forma sistemática.

Passo 2

Escrevendo a equação característica associada à EDO temos
r^3 + 6r^2 + 11r - 6 = 0
Chamemos suas raízes de r1,r2,r3. Como não há raiz racional, mantemos-nas simbólicas.

Passo 3

A solução geral da EDO é
y(x) = C1 e^r1 x + C2 e^r2 x + C3 e^r3 x
Para aplicar as condições em x=pi com mais facilidade, fazemos a mudança de variável
u(t)=y(t+pi)Longrightarrow nu(0)=0, nu'(0)=0, nu''(0)=1,
e nu satisfaz a mesma equação diferencial.

Passo 4

Aplicamos Laplace em nu(t). Como nu(0)=0,nu'(0)=0,nu''(0)=1, obtemos
Lnu''' +6nu''+11nu' -6nu(s)= (s^3+6s^2+11s-6),U(s)
e pelo teor do transformado, o lado direito vira apenas 1. Logo
U(s)=1s^3+6s^2+11s-6=1(s-r1)(s-r2)(s-r3)

Passo 5

Fazendo decomposição em frações parciais escrevemos
U(s)=sumi=1^3 Ais-ri,
onde, por álgebra de frações parciais, cada coeficiente é
Ai=1(ri-rj)(ri-rk),i,j,k=1,2,3

Passo 6

Voltando pela transformada inversa, temos
nu(t)=sumi=1^3 Ai e^ri t
Rebatendo a mudança de variável t=x-pi, a solução final é
y(x)=sumi=1^3 Ai e^ri(x-pi),
com
Ai=1(ri-rj)(ri-rk), r1,r2,r3 são as raízes de r^3+6r^2+11r-6=0 ãí

Resposta

Sejam r1,r2,r3 as raízes de r^3+6r^2+11r-6=0 e definamos
Ai=1(ri-rj)(ri-rk),i,j,k=1,2,3
Então a solução que satisfaz
y(pi)=0, y'(pi)=0, y''(pi)=1 é
y(x)=sumi=1^3 Ai,e^ril(x-pir)

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