(4,0) Resolvam as seguintes equações ordinárias por separação de variáveis: Observação: Os itens a) e b) valem 0,5 e os demais itens 1,0 ponto.
(1+x^2) y^prime-x y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial ordinária de primeira ordem
(1+x^2)y'-xy=0
e pede para resolver por separação de variáveis. Vamos reescrevê-la na forma
dydx=f(x),g(y)
para depois integrar cada lado.

Passo 2

Partindo de
(1+x^2)y'-xy=0,
dividimos por 1+x^2 e escrevemos y'=dydx:
dydx =x1+x^2,y
Agora isolamos os termos em y de um lado e em x do outro:
1y,dydx =x1+x^2 Longrightarrow 1y,dy = x1+x^2,dx

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integral 1y,dy = integral x1+x^2,dx
No lado esquerdo obtém-se
integral y^-1dy = ln|y|.
No lado direito, com u=1+x^2 e du=2x,dx, vem
integral x1+x^2,dx = 12ln(1+x^2).
Logo
ln|y| = 12ln(1+x^2) + C,
onde C é constante de integração.

Passo 4

Exponenciando cada lado,
|y| = e^Craiz1+x^2
Como e^C>0, definimos C1=pm e^C para englobar soluções positivas e negativas. Assim a solução geral é
y(x) = C1raiz1+x^2,
com C1inR arbitrário.

Resposta

y(x) = Craiz1+x^2, CinR

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