Resolvas os PVIs.
Passo 1
O enunciado pede pra gente resolver dois problemas de valor inicial (PVI) envolvendo forças impulsivas, usando transformada de Laplace; o conteúdo envolve propriedades da Laplace, tratamento de funções δ (impulso) e o teorema do descolamento no tempo.
Passo 2
Começando pelo primeiro PVI:
,
,
. Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados, lembrando que
e
:
Daí isolamos
. Fazendo a separação em frações parciais de cada termo em
:
Cada fração a gente decompõe e inverte a Laplace separadamente, usando também o teorema de descolamento para o termo com
.
Passo 3
Invertendo as peças sem o deslocamento: a inversa de
dá
e a inversa de
dá
. Somando essas duas partes obtemos
Assim o primeiro PVI rende
Passo 4
Agora o segundo PVI:
,
,
. De novo aplicamos Laplace,
onde usamos
. Isolamos
Somando, vem
final_answer:“Para t ≥ 0, as soluções são: e (y_2(t)=e{-t}-e{-5t}+\frac e4\bigl(e{-(t-1)}-e{-5(t-1)}\bigr)H(t-1).”"
final_answer:“Para t ≥ 0, as soluções são: