Resolvas os PVIs.
ly^prime prime-y=4 de

Passo 1

O enunciado pede pra gente resolver dois problemas de valor inicial (PVI) envolvendo forças impulsivas, usando transformada de Laplace; o conteúdo envolve propriedades da Laplace, tratamento de funções δ (impulso) e o teorema do descolamento no tempo.

Passo 2

Começando pelo primeiro PVI: y''-y=4de, y(0)=0, y'(0)=2. Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados, lembrando que Ly''=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0) e Lde:
(s^2-1)Y(s)-2=2s^3+4e^-s
Daí isolamos Y(s). Fazendo a separação em frações parciais de cada termo em Y(s):
Y(s)=2s^2-1+2s^3(s^2-1)+4e^-ss^2-1
Cada fração a gente decompõe e inverte a Laplace separadamente, usando também o teorema de descolamento para o termo com e^-s.

Passo 3

Invertendo as peças sem o deslocamento: a inversa de 2/(s^2-1) e^t-e^-t e a inversa de 2/[s^3(s^2-1)] -2 - t^2 + e^t + e^-t. Somando essas duas partes obtemos
2e^t -2 - t^2 Para o termo 4e^-s/(s^2-1) reconhecemos que 1/(s^2-1) inverte para (e^t-e^-t)/2, multiplicamos por 4 e aplicamos o descolamento de 1 unidade em t. Isso gera
2l(e^t-1-e^-(t-1)r)H(t-1)
Assim o primeiro PVI rende
y1(t)=2e^t - t^2 -2 + 2l(e^t-1-e^-(t-1)r)H(t-1)

Passo 4

Agora o segundo PVI: y''+6y'+5y=e^tde, y(0)=0, y'(0)=4. De novo aplicamos Laplace,
(s^2+6s+5)Y(s)-4=e,e^-s,
onde usamos Le^tde. Isolamos
Y(s)=4(s+1)(s+5)+e,e^-s(s+1)(s+5) Decompomos 4/[(s+1)(s+5)] em 1/(s+1)-1/(s+5), que inverte para e^-t-e^-5t. Para e^-s/[(s+1)(s+5)] obtemos (e/4)(e^-t-e^-5t) e aplicamos o descolamento, ficando
e4l(e^-(t-1)-e^-5(t-1)r)H(t-1)
Somando, vem
final_answer:“Para t ≥ 0, as soluções são: y1(t)=2e^t - t^2 -2 + 2l(e^t-1-e^-(t-1)r)H(t-1) e (y_2(t)=e{-t}-e{-5t}+\frac e4\bigl(e{-(t-1)}-e{-5(t-1)}\bigr)H(t-1).”"

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