Resolvas as seguintes inequações e faça o esboço do seu gráfico:
Passo 1
O enunciado pede que a gente resolva a inequação e faça o esboço do gráfico da função associada. Dados fornecidos:
Pergunta: para quais valores de
essa desigualdade é verdadeira? Além disso, fazer um esboço do gráfico da parábola correspondente.
Passo 2
Primeiro passo técnico: identifiquemos os coeficientes do polinômio quadrático. Para
temos
,
e
. Vou calcular o discriminante, que indica se a parábola corta o eixo
. O discriminante é dado por
Substituindo os valores:
Como
, a equação
não tem raízes reais (ou seja, não há pontos em que a parábola cruza o eixo
).
Passo 3
Agora interpretamos o sinal da inequação usando o sinal do coeficiente
e o discriminante. O coeficiente
indica que a parábola abre para cima (como uma “tigela” virada para cima). Quando a parábola abre para cima e não tem raízes reais (
), ela fica inteiramente acima do eixo
: isto é,
para todo
. Portanto, sem fazer mais contas, já podemos concluir que a inequação
é verdadeira para todo
real.
Passo 4
Para reforçar e ensinar como checar isso de outra forma útil na prova, vamos calcular o vértice da parábola e o valor mínimo (porque, abrindo para cima, o valor mínimo diz muito). A abscissa do vértice é dada por
Agora calculemos o valor mínimo
. Substituindo:
Faço as contas passo a passo com denominador comum
:
Somando:
Esse é o valor mínimo da função e é positivo. Isso confirma que
para todo
.
Passo 5
Como resumo do raciocínio:
(sem raízes reais) e
(parábola abre para cima) ⇒ a parábola está totalmente acima do eixo
⇒
para todo
.
Passo 6
Instruções para esboçar o gráfico (faça isso à mão na prova):
- Desenhe dois eixos perpendiculares
(horizontal) e (vertical). - Marque o vértice em
(ou seja, cerca de ). Esse é o ponto mais baixo da parábola. - Marque o intercepto em
dado por , ponto . - A curva é uma parábola simétrica em relação à reta
, abre para cima e não corta o eixo (nenhum intercepto em ). - Trace uma curva suave em forma de “U” passando pelo vértice e por
, mantendo-a inteira acima do eixo .