Resolvas as seguintes inequações e faça o esboço do seu gráfico:
x^{2}+3 x+7>0

Passo 1

O enunciado pede que a gente resolva a inequação e faça o esboço do gráfico da função associada. Dados fornecidos:
x^{2}+3x+7>0.
Pergunta: para quais valores de x essa desigualdade é verdadeira? Além disso, fazer um esboço do gráfico da parábola correspondente.

Passo 2

Primeiro passo técnico: identifiquemos os coeficientes do polinômio quadrático. Para
f(x)=x^{2}+3x+7
temos a=1, b=3 e c=7. Vou calcular o discriminante, que indica se a parábola corta o eixo x. O discriminante é dado por
\Delta=b^{2}-4ac.
Substituindo os valores:
\Delta=3^{2}-4\cdot1\cdot7=9-28=-19.
Como \Delta<0, a equação x^{2}+3x+7=0 não tem raízes reais (ou seja, não há pontos em que a parábola cruza o eixo x).

Passo 3

Agora interpretamos o sinal da inequação usando o sinal do coeficiente a e o discriminante. O coeficiente a=1>0 indica que a parábola abre para cima (como uma “tigela” virada para cima). Quando a parábola abre para cima e não tem raízes reais ( \Delta<0), ela fica inteiramente acima do eixo x: isto é, f(x)>0 para todo x\in\mathbb{R}. Portanto, sem fazer mais contas, já podemos concluir que a inequação x^{2}+3x+7>0 é verdadeira para todo x real.

Passo 4

Para reforçar e ensinar como checar isso de outra forma útil na prova, vamos calcular o vértice da parábola e o valor mínimo (porque, abrindo para cima, o valor mínimo diz muito). A abscissa do vértice é dada por
x_v=-\frac{b}{2a}=-\frac{3}{2}.
Agora calculemos o valor mínimo f(x_v)=f\!\left(-\tfrac{3}{2}\right). Substituindo:
f\!\left(-\tfrac{3}{2}\right)=\left(-\tfrac{3}{2}\right)^{2}+3\left(-\tfrac{3}{2}\right)+7.
Faço as contas passo a passo com denominador comum 4:
\left(-\tfrac{3}{2}\right)^{2}=\tfrac{9}{4},\qquad 3\left(-\tfrac{3}{2}\right)=-\tfrac{9}{2}=-\tfrac{18}{4},\qquad 7=\tfrac{28}{4}.
Somando:
f\!\left(-\tfrac{3}{2}\right)=\tfrac{9}{4}-\tfrac{18}{4}+\tfrac{28}{4}=\tfrac{9-18+28}{4}=\tfrac{19}{4}=4,\!75.
Esse é o valor mínimo da função e é positivo. Isso confirma que f(x)>0 para todo x.

Passo 5

Como resumo do raciocínio: \Delta=-19<0 (sem raízes reais) e a=1>0 (parábola abre para cima) ⇒ a parábola está totalmente acima do eixo x x^{2}+3x+7>0 para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 6

Instruções para esboçar o gráfico (faça isso à mão na prova):
  • Desenhe dois eixos perpendiculares x (horizontal) e y (vertical).
  • Marque o vértice em \left(-\tfrac{3}{2},\tfrac{19}{4}\right) (ou seja, cerca de (-1{,}5,4{,}75)). Esse é o ponto mais baixo da parábola.
  • Marque o intercepto em y dado por f(0)=7, ponto (0,7).
  • A curva é uma parábola simétrica em relação à reta x=-\tfrac{3}{2}, abre para cima e não corta o eixo x (nenhum intercepto em y=0).
  • Trace uma curva suave em forma de “U” passando pelo vértice e por (0,7), mantendo-a inteira acima do eixo x.

Resposta

\mathbb{R}

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