Resolve:
\frac{d T}{d t}=-2(T-3)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária
\frac{dT}{dt} = -2\,(T-3)
e pede para resolver essa equação (ou seja, encontrar a função T(t) que satisfaz essa relação). As informações relevantes são: a incógnita é T como função de t, a derivada de T em relação a t está igual a -2 vezes (T-3). Não há condição inicial fornecida, então devemos encontrar a solução geral contendo uma constante arbitrária.

Passo 2

Escolhemos o método de separação de variáveis porque a equação tem o lado direito factorável em função de T apenas multiplicado por uma constante (não há dependência explícita de t no fator que envolve T). Explico o que é separação de variáveis: quando uma equação tem a forma
\frac{dT}{dt}=F(T)\,G(t),
podemos escrever
\frac{1}{F(T)}\,dT = G(t)\,dt
e integrar cada lado em relação à sua variável. Aqui a equação é simples e cabe perfeitamente nesse esquema.

Passo 3

Separe as variáveis movendo todos os fatores com T para o lado esquerdo e o diferencial de t para o lado direito:
\frac{dT}{T-3} = -2\,dt.
Agora integramos os dois lados. Vou explicar a integral que aparece à esquerda: a primitiva de \frac{1}{T-3} em relação a T é \ln\big|T-3\big|, porque a derivada de \ln|T-3| é \frac{1}{T-3}. Então integrando ambos os lados temos
\int \frac{dT}{T-3} = \int -2\,dt
\ln\big|T-3\big| = -2t + C,
onde C é a constante de integração (uma constante real qualquer).

Passo 4

Para isolar T vamos “desfazer” o logaritmo exponenciando ambos os lados. Primeiro, aplicando exponencial:
\big|T-3\big| = e^{\,\ln|T-3|} = e^{-2t + C} = e^{C}\,e^{-2t}.
Denotando C_1 = e^{C} temos C_1>0 e
\big|T-3\big| = C_1 e^{-2t}.
Para eliminar o valor absoluto podemos permitir que a constante multiplicativa seja qualquer número real não nulo, escrevendo C = \pm C_1 com C\in\mathbb{R}. Assim obtemos a forma geral sem o valor absoluto:
T-3 = C\,e^{-2t},
onde agora C é uma constante real arbitrária (pode ser positiva, negativa ou zero). Finalmente,
T(t) = 3 + C\,e^{-2t}.

Passo 5

Verificação rápida (sempre bom checar na prova): calcule a derivada da solução proposta:
\frac{dT}{dt} = \frac{d}{dt}\big(3 + C e^{-2t}\big) = C\cdot(-2)e^{-2t} = -2\big(C e^{-2t}\big).
Como T-3 = C e^{-2t}, o lado direito original -2(T-3) é exatamente -2\big(C e^{-2t}\big). Logo a solução satisfaz a equação original.

Passo 6

Interpretação e exemplo prático: a solução geral é
T(t)=3+Ce^{-2t}.
Se você tivesse uma condição inicial do tipo T(0)=T_0, basta substituir t=0 para achar C=T_0-3. Por exemplo, se T(0)=10 então C=7 e
T(t)=3+7e^{-2t}.
Note também que, conforme t\to\infty, a exponencial tende a zero e T(t)\to 3: a solução relaxa para o valor 3.

Resposta

T(t)=3+C\,e^{-2t},\quad C\in\mathbb{R}

Exercícios relacionados