e pede para resolver essa equação (ou seja, encontrar a função T(t) que satisfaz essa relação). As informações relevantes são: a incógnita é T como função de t, a derivada de T em relação a t está igual a -2 vezes (T-3). Não há condição inicial fornecida, então devemos encontrar a solução geral contendo uma constante arbitrária.
Passo 2
Escolhemos o método de separação de variáveis porque a equação tem o lado direito factorável em função de T apenas multiplicado por uma constante (não há dependência explícita de t no fator que envolve T). Explico o que é separação de variáveis: quando uma equação tem a forma
\frac{dT}{dt}=F(T)\,G(t),
podemos escrever
\frac{1}{F(T)}\,dT = G(t)\,dt
e integrar cada lado em relação à sua variável. Aqui a equação é simples e cabe perfeitamente nesse esquema.
Passo 3
Separe as variáveis movendo todos os fatores com T para o lado esquerdo e o diferencial de t para o lado direito:
\frac{dT}{T-3} = -2\,dt.
Agora integramos os dois lados. Vou explicar a integral que aparece à esquerda: a primitiva de \frac{1}{T-3} em relação a T é \ln\big|T-3\big|, porque a derivada de \ln|T-3| é \frac{1}{T-3}. Então integrando ambos os lados temos
\int \frac{dT}{T-3} = \int -2\,dt
\ln\big|T-3\big| = -2t + C,
onde C é a constante de integração (uma constante real qualquer).
Passo 4
Para isolar T vamos “desfazer” o logaritmo exponenciando ambos os lados. Primeiro, aplicando exponencial:
Para eliminar o valor absoluto podemos permitir que a constante multiplicativa seja qualquer número real não nulo, escrevendo C = \pm C_1 com C\in\mathbb{R}. Assim obtemos a forma geral sem o valor absoluto:
T-3 = C\,e^{-2t},
onde agora C é uma constante real arbitrária (pode ser positiva, negativa ou zero). Finalmente,
T(t) = 3 + C\,e^{-2t}.
Passo 5
Verificação rápida (sempre bom checar na prova): calcule a derivada da solução proposta: