Resolver: (x^2+1)(-3 x+2)>0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a inequação (x^2+1)(-3 x+2) > 0. A matéria que vamos usar aqui é inequações algébricas, mais especificamente, vamos analisar os sinais das expressões para descobrir onde a inequação é verdadeira. Para isso, vamos precisar identificar os pontos que fazem cada parte da inequação mudar de sinal e depois analisar os intervalos formados por esses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para cada fator da inequação separadamente. Temos dois fatores: x^2 + 1 e -3x + 2.

Passo 3

Vamos começar com x^2 + 1. Sabemos que qualquer número ao quadrado é sempre positivo ou zero, e, nesse caso, como estamos somando 1, o mínimo que essa expressão pode ser é 1. Portanto, x^2 + 1 é sempre positivo para qualquer valor de x.

Passo 4

Agora, vamos analisar o segundo fator: -3x + 2. Vamos encontrar o valor de x que faz essa expressão igual a zero:
-3x + 2 = 0 -3x = -2 x = 23
Esse valor de x = 23 é um ponto crítico onde a expressão -3x + 2 muda de sinal.

Passo 5

Com os pontos críticos identificados, vamos dividir a linha dos números reais em intervalos para analisar o sinal de cada fator em cada intervalo. Os intervalos são:
  1. x < 23
  2. x > 23

Passo 6

Vamos testar cada intervalo:
  1. Para x < 23:
    • x^2 + 1 é sempre positivo.
    • -3x + 2 será positivo porque estamos multiplicando um número negativo por x, que é menor que 23.
    • Portanto, o produto (x^2+1)(-3 x+2) é positivo.
  2. Para x > 23:
    • x^2 + 1 continua sendo sempre positivo.
    • -3x + 2 será negativo porque x é maior que 23.
    • Portanto, o produto (x^2+1)(-3 x+2) é negativo.

Resposta

A inequação (x^2+1)(-3 x+2) > 0 é verdadeira para todos os valores de x menores que 23. Assim, a solução é:
x in (-infty, 23)

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