Resolver: (3 x^2-2 x+1)(x-3)>0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa resolver a inequação (3x^2 - 2x + 1)(x - 3) > 0. Isso está envolvido com análise de sinais de polinômios. Basicamente, vamos descobrir em quais valores de x esse produto é positivo. Para isso, vamos encontrar os pontos onde cada parte da expressão se anula e depois ver em quais intervalos o produto fica positivo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar onde cada fator da expressão é igual a zero. Isso nos ajuda a dividir a reta dos números em intervalos para analisar o sinal da inequação.

Passo 3

Vamos resolver 3x^2 - 2x + 1 = 0. Para isso, usamos a fórmula de Bhaskara:
x = 2 pm raiz(-2)^2 - 4 cdot 3 cdot 12 cdot 3 = 2 pm raiz4 - 126 = 2 pm raiz-86
Como a raiz quadrada de um número negativo não é real, essa equação não tem soluções reais. Isso quer dizer que 3x^2 - 2x + 1 nunca é zero para nenhum x real. Além disso, como o coeficiente de x^2 é positivo (3), o polinômio 3x^2 - 2x + 1 é sempre positivo para qualquer valor de x.

Passo 4

Agora, vamos resolver x - 3 = 0 para encontrar o ponto onde esse fator muda de sinal:
x - 3 = 0 implies x = 3
Esse é o único ponto que precisamos considerar para analisar o sinal do fator x - 3.

Passo 5

Vamos analisar os intervalos divididos pelo ponto x = 3:
  1. Para x < 3:
    • x - 3 é negativo.
    • Como 3x^2 - 2x + 1 é sempre positivo, o produto (3x^2 - 2x + 1)(x - 3) será negativo.
  2. Para x > 3:
    • x - 3 é positivo.
    • Novamente, como 3x^2 - 2x + 1 é sempre positivo, o produto será positivo.

Resposta

A solução da inequação é x > 3.

Exercícios relacionados