Resolver cada equação, apresentando a resposta no grau mais próximo, sendo
. Se na sua solução, você elevar ao quadrado em ambos os lados, verifique todas as raízes encontradas na equação original.
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
no intervalo
. Também há uma observação: se você elevar ambos os lados ao quadrado em algum ponto, precisa verificar raízes extranhas — neste problema não vamos elevar ao quadrado, mas vamos tomar cuidado com valores que tornam
indefinido. Todas as informações relevantes do enunciado foram listadas aqui.
Passo 2
Entendendo as funções trigonométricas envolvidas (aula curta e prática).
-
é a razão oposto/hipotenusa num triângulo retângulo (nosso símbolo para seno). -
é a razão adjacente/hipotenusa. -
é a razão .
Importante:está indefinido quando (porque divisão por zero não existe). Portanto, valores com (ou seja ou no intervalo dado) não podem ser soluções da equação original.
Passo 3
Reescrever a equação transformando
em termos de seno e cosseno. Usando
obtemos
Aqui eu apenas substituí
por
e multipliquei por
.
Passo 4
Como já observei que
torna
indefinido, excluo
(ou seja,
). Então posso multiplicar ambos os lados da equação por
sem criar divisão por zero. Fazendo isso:
Passo 5
Usar a identidade trigonométrica
para escrever tudo em termos de
. Substituindo:
onde defini
. Agora simplifico:
Passo 6
Resolver a equação quadrática
(aqui
). Uso a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática):
Então temos duas soluções candidatas para
:
Passo 7
Verifico que ambas as soluções estão no intervalo válido para seno, isto é
. Portanto ambas são possíveis valores de
. Lembrando que excluí
antes, o que não afeta essas duas soluções.
Passo 8
Agora passo a encontrar os ângulos
no intervalo
que satisfazem
e
.
Regra prática para resolver
:
- Calcule
no intervalo . - As soluções no intervalo
são: -
(ajustando para positivo se ), -
.
-
Farei isso para cada
.
Passo 9
Para
:
-
.
As soluções no intervalo pedido são
Passo 10
Para
:
-
(valor no intervalo ).
As soluções no intervalosão
Passo 11
Verificação rápida (essencial sempre que fazemos manipulações): vou checar numericamente cada solução aproximada substituindo na equação original escrita como
- Para
e o valor da expressão dá aproximadamente (diferenças numéricas pequenas por arredondamento). - Para
e a expressão também dá aproximadamente .
Além disso,e foram excluídos porque tornam indefinido. Como não elevamos ambos os lados ao quadrado em nenhum momento, não surgiram raízes extranhas por esse motivo; a multiplicação por exigiu apenas a exclusão de , que fizemos.
Passo 12
O enunciado pede a resposta “no grau mais próximo”. Arredondando cada solução ao grau mais próximo obtemos: