Resolver cada equação, apresentando a resposta no grau mais próximo, sendo 0 \leq \theta<360^{\circ}. Se na sua solução, você elevar ao quadrado em ambos os lados, verifique todas as raízes encontradas na equação original.
2 \operatorname{sen} \theta-\cot \theta \times \cos \theta=1.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
2\operatorname{sen}\theta-\cot\theta\times\cos\theta=1
no intervalo \,0\le \theta<360^\circ. Também há uma observação: se você elevar ambos os lados ao quadrado em algum ponto, precisa verificar raízes extranhas — neste problema não vamos elevar ao quadrado, mas vamos tomar cuidado com valores que tornam \cot\theta indefinido. Todas as informações relevantes do enunciado foram listadas aqui.

Passo 2

Entendendo as funções trigonométricas envolvidas (aula curta e prática).
  • \operatorname{sen}\theta é a razão oposto/hipotenusa num triângulo retângulo (nosso símbolo para seno).
  • \cos\theta é a razão adjacente/hipotenusa.
  • \cot\theta é a razão \displaystyle \cot\theta=\frac{\cos\theta}{\operatorname{sen}\theta}.
    Importante: \cot\theta está indefinido quando \operatorname{sen}\theta=0 (porque divisão por zero não existe). Portanto, valores com \operatorname{sen}\theta=0 (ou seja \theta=0^\circ ou \theta=180^\circ no intervalo dado) não podem ser soluções da equação original.

Passo 3

Reescrever a equação transformando \cot\theta em termos de seno e cosseno. Usando \displaystyle \cot\theta=\frac{\cos\theta}{\operatorname{sen}\theta\!} obtemos
2\operatorname{sen}\theta-\frac{\cos^2\theta}{\operatorname{sen}\theta}=1.
Aqui eu apenas substituí \cot\theta por \cos\theta/\operatorname{sen}\theta e multipliquei por \cos\theta.

Passo 4

Como já observei que \operatorname{sen}\theta=0 torna \cot\theta indefinido, excluo \operatorname{sen}\theta=0 (ou seja, \theta\neq 0^\circ,180^\circ). Então posso multiplicar ambos os lados da equação por \operatorname{sen}\theta sem criar divisão por zero. Fazendo isso:
2\operatorname{sen}^2\theta-\cos^2\theta=\operatorname{sen}\theta.

Passo 5

Usar a identidade trigonométrica \displaystyle \cos^2\theta=1-\operatorname{sen}^2\theta para escrever tudo em termos de s=\operatorname{sen}\theta. Substituindo:
2s^2-(1-s^2)=s,
onde defini s=\operatorname{sen}\theta. Agora simplifico:
2s^2-1+s^2=s \quad\Rightarrow\quad 3s^2-s-1=0.

Passo 6

Resolver a equação quadrática 3s^2-s-1=0 (aqui s=\operatorname{sen}\theta). Uso a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática):
s=\frac{1\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot 3\cdot(-1)}}{2\cdot 3} =\frac{1\pm\sqrt{1+12}}{6} =\frac{1\pm\sqrt{13}}{6}.
Então temos duas soluções candidatas para s:
s_1=\frac{1+\sqrt{13}}{6}\approx 0,7675925, \qquad s_2=\frac{1-\sqrt{13}}{6}\approx -0,4342583.

Passo 7

Verifico que ambas as soluções estão no intervalo válido para seno, isto é -1\le s\le 1. Portanto ambas são possíveis valores de \operatorname{sen}\theta. Lembrando que excluí \operatorname{sen}\theta=0 antes, o que não afeta essas duas soluções.

Passo 8

Agora passo a encontrar os ângulos \theta no intervalo 0\le\theta<360^\circ que satisfazem \operatorname{sen}\theta=s_1 e \operatorname{sen}\theta=s_2.
Regra prática para resolver \operatorname{sen}\theta=s:
  • Calcule \alpha=\arcsin(s) no intervalo [-90^\circ,90^\circ].
  • As soluções no intervalo 0^\circ\le\theta<360^\circ são:
    • \theta=\alpha (ajustando para positivo se \alpha<0),
    • \theta=180^\circ-\alpha.
Farei isso para cada s.

Passo 9

Para s_1\approx 0,7675925:
  • \alpha_1=\arcsin(0,7675925)\approx 50{,}14^\circ.
    As soluções no intervalo pedido são
\theta_1\approx 50{,}14^\circ,\qquad \theta_2\approx 180^\circ-50{,}14^\circ=129{,}86^\circ.

Passo 10

Para s_2\approx -0,4342583:
  • \alpha_2=\arcsin(-0,4342583)\approx -25{,}74^\circ (valor no intervalo [-90^\circ,90^\circ]).
    As soluções no intervalo 0^\circ\le\theta<360^\circ são
\theta_3=360^\circ+(-25{,}74^\circ)=334{,}26^\circ, \qquad \theta_4=180^\circ-(-25{,}74^\circ)=205{,}74^\circ.

Passo 11

Verificação rápida (essencial sempre que fazemos manipulações): vou checar numericamente cada solução aproximada substituindo na equação original escrita como
2\operatorname{sen}\theta-\frac{\cos^2\theta}{\operatorname{sen}\theta}.
  • Para \theta_1\approx 50{,}14^\circ e \theta_2\approx129{,}86^\circ o valor da expressão dá aproximadamente 1{,}00 (diferenças numéricas pequenas por arredondamento).
  • Para \theta_3\approx334{,}26^\circ e \theta_4\approx205{,}74^\circ a expressão também dá aproximadamente 1{,}00.
    Além disso, \theta=0^\circ e \theta=180^\circ foram excluídos porque tornam \cot\theta indefinido. Como não elevamos ambos os lados ao quadrado em nenhum momento, não surgiram raízes extranhas por esse motivo; a multiplicação por \operatorname{sen}\theta exigiu apenas a exclusão de \operatorname{sen}\theta=0, que fizemos.

Passo 12

O enunciado pede a resposta “no grau mais próximo”. Arredondando cada solução ao grau mais próximo obtemos:
\theta\in\{50^\circ,\;130^\circ,\;206^\circ,\;334^\circ\}.

Resposta

50^\circ
130^\circ
206^\circ
334^\circ

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