Explique (não resolva) como modificar cada equação de maneira que somente uma função trigonométrica esteja presente.
\operatorname{sen} \theta=\cos \theta
\operatorname{sen} \theta=\cos \theta
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede que expliquemos como modificar essa equação de modo que só apareça uma única função trigonométrica.
Informações dadas: a equação original é .
O objetivo é transformar essa igualdade para que nela apareça apenas uma das funções trigonométricas (por exemplo apenas , ou apenas
, ou apenas
, etc.), sem encontrar os valores de
.
Informações dadas: a equação original é
O objetivo é transformar essa igualdade para que nela apareça apenas uma das funções trigonométricas (por exemplo apenas
Passo 2
Método 1 — dividir por
(quando
):
Definição usada: .
Aplicando à equação , dividimos os dois lados por
(válido apenas se
) e obtemos
Definição usada:
Aplicando à equação
ou seja
Comentário prático: essa é a forma mais direta e limpa — transforma a igualdade em uma só função trigonométrica (
). Sempre lembre de checar a condição
depois, caso vá resolver a equação.
Passo 3
Método 2 — dividir por
(quando
):
Definição usada: .
Dividindo por
(válido se
) obtemos
Definição usada:
Dividindo
ou seja
Comentário: essa alternativa também deixa apenas uma função (
), mas exige
.
Passo 4
Método 3 — elevar ao quadrado e usar a identidade pitagórica:
Identidade usada: .
Elevando os dois lados da equação ao quadrado obtém-se
Identidade usada:
Elevando os dois lados da equação ao quadrado obtém-se
Agora substituímos
por
(pela identidade) e temos
que é uma equação com apenas
(após simplificar fica
).
Observação importante: ao elevar ao quadrado perde-se informação sobre o sinal (o sinal original de e
), então esse procedimento pode introduzir soluções extranas que precisam ser verificadas no final — por isso, ao usar esse método, sempre confira as soluções na equação original.
Observação importante: ao elevar ao quadrado perde-se informação sobre o sinal (o sinal original de
Passo 5
Método 4 — isolar uma função com radical usando a identidade pitagórica:
Usando obtemos
Usando
Substituindo na equação original
resulta
que é uma equação em que aparece apenas
(mas com raiz e o sinal
). Alternativamente, isolando
em termos de
dá forma análoga com apenas
. Comentário: esse método mantém o sinal explícito (com o
), mas a equação fica com uma raiz, o que pode ser menos direto em prova.
Passo 6
Resumo das vantagens/desvantagens e recomendação prática:
- Dividir por
para obter é rápido e limpo; verifique . - Dividir por
para obter é equivalente; verifique . - Elevar ao quadrado e usar a identidade fornece uma equação polinomial em
ou (por exemplo ), mas exige conferir soluções por possíveis extranos. - Usar a raiz (expressar uma função em termos da outra com
) dá uma única função mas introduz e raízes.
Para uma prova, eu recomendo primeiro tentar dividir (obter), porque é o caminho mais direto; só use quadrados ou radicais se dividir for impossível (por exemplo se houver risco de divisão por zero).
Resposta
\tan\theta=1\quad(se\cos\theta\neq0)\
\cot\theta=1\quad(se\sin\theta\neq0)\
2\sin^2\theta=1\
2\cos^2\theta=1
\cot\theta=1\quad(se\sin\theta\neq0)\
2\sin^2\theta=1\
2\cos^2\theta=1