Explique (não resolva) como modificar cada equação de maneira que somente uma função trigonométrica esteja presente.
\operatorname{sen} \theta=\cos \theta

Passo 1

O enunciado dá a equação \operatorname{sen}\theta=\cos\theta e pede que expliquemos como modificar essa equação de modo que só apareça uma única função trigonométrica.
Informações dadas: a equação original é \operatorname{sen}\theta=\cos\theta.
O objetivo é transformar essa igualdade para que nela apareça apenas uma das funções trigonométricas (por exemplo apenas \sin, ou apenas \cos, ou apenas \tan, etc.), sem encontrar os valores de \theta.

Passo 2

Método 1 — dividir por \cos\theta (quando \cos\theta\neq 0):
Definição usada: \tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}.
Aplicando à equação \operatorname{sen}\theta=\cos\theta, dividimos os dois lados por \cos\theta (válido apenas se \cos\theta\neq0) e obtemos
\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=1,
ou seja
\tan\theta=1.
Comentário prático: essa é a forma mais direta e limpa — transforma a igualdade em uma só função trigonométrica ( \tan). Sempre lembre de checar a condição \cos\theta\neq0 depois, caso vá resolver a equação.

Passo 3

Método 2 — dividir por \sin\theta (quando \sin\theta\neq 0):
Definição usada: \cot\theta=\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}.
Dividindo \operatorname{sen}\theta=\cos\theta por \sin\theta (válido se \sin\theta\neq0) obtemos
1=\frac{\cos\theta}{\sin\theta},
ou seja
\cot\theta=1.
Comentário: essa alternativa também deixa apenas uma função ( \cot), mas exige \sin\theta\neq0.

Passo 4

Método 3 — elevar ao quadrado e usar a identidade pitagórica:
Identidade usada: \sin^2\theta+\cos^2\theta=1.
Elevando os dois lados da equação ao quadrado obtém-se
\sin^2\theta=\cos^2\theta.
Agora substituímos \cos^2\theta por 1-\sin^2\theta (pela identidade) e temos
\sin^2\theta = 1-\sin^2\theta,
que é uma equação com apenas \sin (após simplificar fica 2\sin^2\theta=1).
Observação importante: ao elevar ao quadrado perde-se informação sobre o sinal (o sinal original de \sin\theta e \cos\theta), então esse procedimento pode introduzir soluções extranas que precisam ser verificadas no final — por isso, ao usar esse método, sempre confira as soluções na equação original.

Passo 5

Método 4 — isolar uma função com radical usando a identidade pitagórica:
Usando \cos^2\theta=1-\sin^2\theta obtemos
\cos\theta=\pm\sqrt{1-\sin^2\theta}.
Substituindo na equação original \sin\theta=\cos\theta resulta
\sin\theta=\pm\sqrt{1-\sin^2\theta},
que é uma equação em que aparece apenas \sin\theta (mas com raiz e o sinal \pm). Alternativamente, isolando \sin em termos de \cos dá forma análoga com apenas \cos. Comentário: esse método mantém o sinal explícito (com o \pm), mas a equação fica com uma raiz, o que pode ser menos direto em prova.

Passo 6

Resumo das vantagens/desvantagens e recomendação prática:
  • Dividir por \cos\theta para obter \tan\theta=1 é rápido e limpo; verifique \cos\theta\neq0.
  • Dividir por \sin\theta para obter \cot\theta=1 é equivalente; verifique \sin\theta\neq0.
  • Elevar ao quadrado e usar a identidade fornece uma equação polinomial em \sin ou \cos (por exemplo 2\sin^2\theta=1), mas exige conferir soluções por possíveis extranos.
  • Usar a raiz (expressar uma função em termos da outra com \pm\sqrt{\cdot}) dá uma única função mas introduz \pm e raízes.
    Para uma prova, eu recomendo primeiro tentar dividir (obter \tan\theta=1), porque é o caminho mais direto; só use quadrados ou radicais se dividir for impossível (por exemplo se houver risco de divisão por zero).

Resposta

\tan\theta=1\quad(se\cos\theta\neq0)\
\cot\theta=1\quad(se\sin\theta\neq0)\
2\sin^2\theta=1\
2\cos^2\theta=1

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