Resolver cada equação, apresentando a resposta no grau mais próximo, sendo
. Se na sua solução, você elevar ao quadrado em ambos os lados, verifique todas as raízes encontradas na equação original.
;
Passo 1
O enunciado pede resolver a equação
no intervalo
.
Informações dadas: a soma das funções trigonométricas e
é igual a
. Não há outras condições. Vou encontrar todos os
nesse intervalo que satisfazem a equação.
Informações dadas: a soma das funções trigonométricas
Passo 2
Transformação útil (método da amplitude). Existe uma identidade que permite escrever uma combinação linear de
e
como uma única função seno deslocada:
onde
Explicando: expandindo o lado direito temos
Para que isso seja igual a
precisamos de
e
. Por isso escolhemos
e
como acima.
No nosso caso
e
, então
Tomando
e
obtemos
(pois ambos seno e cosseno são iguais e positivos). Logo
Passo 3
Substituindo na equação original:
Dividindo ambos os lados por
(não nulo) dá
A função seno vale
apenas quando o argumento é
para
. Assim
No intervalo
isso produz apenas
Passo 4
Verificação por outro método (opcional, mostra cuidado com elevar ao quadrado). Se alguém optar por elevar ao quadrado ambos os lados tem-se
Usando
obtemos
Mas
, então
Isso dá
, logo
No intervalo dado as soluções dessa forma seriam
e
. Como elevamos ao quadrado, devemos verificar ambas na equação original:
- Para
: — válida. - Para
: — falsa (extranea introduzida pela elevação ao quadrado).
Portanto a única solução válida é
, compatível com o método da amplitude.