Resolver cada equação, apresentando a resposta no grau mais próximo, sendo 0 \leq \theta<360^{\circ}. Se na sua solução, você elevar ao quadrado em ambos os lados, verifique todas as raízes encontradas na equação original.
\operatorname{sen} \theta+\cos \theta=\sqrt{2};

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação
\sin\theta+\cos\theta=\sqrt{2}
no intervalo \;0\leq\theta<360^\circ\;.
Informações dadas: a soma das funções trigonométricas \sin\theta e \cos\theta é igual a \sqrt{2}. Não há outras condições. Vou encontrar todos os \theta nesse intervalo que satisfazem a equação.

Passo 2

Transformação útil (método da amplitude). Existe uma identidade que permite escrever uma combinação linear de \sin\theta e \cos\theta como uma única função seno deslocada:
a\sin\theta+b\cos\theta=R\sin(\theta+\alpha),
onde
R=\sqrt{a^2+b^2},\qquad \cos\alpha=\frac{a}{R},\qquad \sin\alpha=\frac{b}{R}.
Explicando: expandindo o lado direito temos
R\sin(\theta+\alpha)=R\big(\sin\theta\cos\alpha+\cos\theta\sin\alpha\big) =(R\cos\alpha)\sin\theta+(R\sin\alpha)\cos\theta.
Para que isso seja igual a a\sin\theta+b\cos\theta precisamos de R\cos\alpha=a e R\sin\alpha=b. Por isso escolhemos R e \alpha como acima.
No nosso caso a=1 e b=1, então
R=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}.
Tomando \cos\alpha=\dfrac{1}{\sqrt{2}} e \sin\alpha=\dfrac{1}{\sqrt{2}} obtemos \alpha=45^\circ (pois ambos seno e cosseno são iguais e positivos). Logo
\sin\theta+\cos\theta=\sqrt{2}\sin(\theta+45^\circ).

Passo 3

Substituindo na equação original:
\sqrt{2}\sin(\theta+45^\circ)=\sqrt{2}.
Dividindo ambos os lados por \sqrt{2} (não nulo) dá
\sin(\theta+45^\circ)=1.
A função seno vale 1 apenas quando o argumento é 90^\circ+360^\circ k para k\in\mathbb{Z}. Assim
\theta+45^\circ=90^\circ+360^\circ k \quad\Rightarrow\quad \theta=45^\circ+360^\circ k.
No intervalo \;0\leq\theta<360^\circ\; isso produz apenas
\theta=45^\circ.

Passo 4

Verificação por outro método (opcional, mostra cuidado com elevar ao quadrado). Se alguém optar por elevar ao quadrado ambos os lados tem-se
(\sin\theta+\cos\theta)^2= (\sqrt{2})^2
\sin^2\theta+2\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta=2.
Usando \sin^2\theta+\cos^2\theta=1 obtemos
1+2\sin\theta\cos\theta=2 \quad\Rightarrow\quad 2\sin\theta\cos\theta=1.
Mas 2\sin\theta\cos\theta=\sin(2\theta), então
\sin(2\theta)=1.
Isso dá 2\theta=90^\circ+360^\circ k, logo
\theta=45^\circ+180^\circ k.
No intervalo dado as soluções dessa forma seriam \theta=45^\circ e \theta=225^\circ. Como elevamos ao quadrado, devemos verificar ambas na equação original:
  • Para \theta=45^\circ: \sin45^\circ+\cos45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2} — válida.
  • Para \theta=225^\circ: \sin225^\circ+\cos225^\circ=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}=-\sqrt{2}\neq\sqrt{2} — falsa (extranea introduzida pela elevação ao quadrado).
Portanto a única solução válida é \theta=45^\circ, compatível com o método da amplitude.

Resposta

45^\circ

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