Resolver as E.D.O.s abaixo:
15 y^5 d x-8 x^4 d y=0, y=y(x)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeiro ordem
15,y^5,dx - 8,x^4,dy = 0
Isso é um caso clássico de equação diferencial separável: conseguimos escrever dy/dx como um produto de uma função só de y por outra só de x, e então integrar.

Passo 2

Primeiro, isolemos dy/dx dividindo toda a equação por dx e depois por 8x^4:
dydx = 15,y^58,x^4
Agora separamos as variáveis, passando todos os termos em y para o lado esquerdo e os de x para o direito, obtendo
dyy^5 = 158,x^-4,dx

Passo 3

Em seguida, integramos ambos os lados. Lembrando que integral y^n dy = y^n+1/(n+1) quando nneq -1 e integral x^-4 dx = x^-3/(-3), temos:
integral y^-5 dy = integral 158 x^-4 dx
Calculando cada integral:
y^-4-4 = 158 cdot x^-3-3 + C
Simplificando o coeficiente do lado direito ( -15/(24) = -5/8) e multiplicando tudo por -1):
14y^-4 = 58x^-3 + C'

Passo 4

Por fim, isolamos y^-4 multiplicando ambos os lados por 4 e redefinindo a constante arbitrária (chamando 4C' de C):
y^-4 = 52x^-3 + C
Essa é a forma implícita geral da solução.

Passo 5

Para obter y explicitamente, podemos escrever:
y(x) = l(52x^-3 + Cr)^-1/4

Passo 6

Concluindo, a solução geral da E.D.O. é dada pela relação entre x e y apresentada acima.

Resposta

y^{-4} = \frac{5}{2}x^{-3} + C

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