Resolver as E.D.O.s abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeiro ordem
Isso é um caso clássico de equação diferencial separável: conseguimos escrever
como um produto de uma função só de
por outra só de
, e então integrar.
Passo 2
Primeiro, isolemos
dividindo toda a equação por
e depois por
:
Agora separamos as variáveis, passando todos os termos em
para o lado esquerdo e os de
para o direito, obtendo
Passo 3
Em seguida, integramos ambos os lados. Lembrando que
quando
e
, temos:
Calculando cada integral:
Simplificando o coeficiente do lado direito (
) e multiplicando tudo por
:
Passo 4
Por fim, isolamos
multiplicando ambos os lados por 4 e redefinindo a constante arbitrária (chamando
de
):
Essa é a forma implícita geral da solução.
Passo 5
Para obter
explicitamente, podemos escrever:
Passo 6
Concluindo, a solução geral da E.D.O. é dada pela relação entre
e
apresentada acima.
Resposta
y^{-4} = \frac{5}{2}x^{-3} + C