Resolver as E.D.O.s abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a E.D.O.\n\n\n\n\n\n(5 y - \frac{2}{x2}e{-3x}),dx + (\frac{5}{y}e^{-3x} + \frac{5}{3}),dy = 0.\n\nConteúdo: equações diferenciais exatas e fator integrante. Vamos precisar testar exatidão, achar um fator integrante e depois construir a função potencial.
Passo 2
Primeiro, verifique se a equação é exata: definimos
e
. Calculamos
e
. Como não são iguais, a E.D.O. não é exata.
Passo 3
Buscamos um fator integrante do tipo
. A condição para
é que
seja função só de
. Não funciona. O mesmo ocorre para
. Então testamos
. A condição de exatidão leva a escolher
.
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
. Isso dá\n
Passo 5
Agora verificamos que
e
, logo é exata.
Passo 6
Procuramos a função potencial
tal que
e
. Integramos
em relação a
:\n
Passo 7
onde
é função a determinar. Diferenciando
em relação a
obtemos\n
\nque deve ser igual a
. Daí\n
Passo 8
Logo a função potencial é\n
Passo 9
A solução geral vem de
, com
constante.