Resolver as E.D.O.s abaixo:
(5 y-2x^2 e^-3 x) d x+(5y e^-3 x+53) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a E.D.O.\n\n\n\n\n\n(5 y - \frac{2}{x2}e{-3x}),dx + (\frac{5}{y}e^{-3x} + \frac{5}{3}),dy = 0.\n\nConteúdo: equações diferenciais exatas e fator integrante. Vamos precisar testar exatidão, achar um fator integrante e depois construir a função potencial.

Passo 2

Primeiro, verifique se a equação é exata: definimos M(x,y)=5y - 2x^-2e^-3x e N(x,y)=5y^-1e^-3x+5/3. Calculamos partial M/partial y=5 e partial N/partial x=-15y^-1e^-3x. Como não são iguais, a E.D.O. não é exata.

Passo 3

Buscamos um fator integrante do tipo mu(x). A condição para mu(x) é que partial(mu M)/partial y-partial(mu N)/partial xmu N seja função só de x. Não funciona. O mesmo ocorre para mu(y). Então testamos mu(x)=e^kx. A condição de exatidão leva a escolher k=3.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por mu(x)=e^3x. Isso dá\n M1= e^3xl(5y - 2x^-2e^-3xr)=5y e^3x-2x^-2,
N1= e^3xl(5y^-1e^-3x+tfrac53r)=5y^-1+tfrac53e^3x

Passo 5

Agora verificamos que partial M1/partial y=5e^3x e partial N1/partial x=5e^3x, logo é exata.

Passo 6

Procuramos a função potencial Psi(x,y) tal que partialPsi/partial x=M1 e partialPsi/partial y=N1. Integramos M1 em relação a x:\n Psi(x,y)=integrall(5y e^3x-2x^-2r)dx=53y e^3x+2x^-1+h(y),

Passo 7

onde h(y) é função a determinar. Diferenciando Psi em relação a y obtemos\n partialPsipartial y=53e^3x+h'(y)\nque deve ser igual a N1=5y^-1+tfrac53e^3x. Daí\n h'(y)=5yRightarrow h(y)=5ln|y|

Passo 8

Logo a função potencial é\n Psi(x,y)=53y e^3x+2x+5ln|y|

Passo 9

A solução geral vem de Psi(x,y)=C, com C constante.

Resposta

53y e^3x+2x+5ln|y|=C, onde C é constante de integração.

Exercícios relacionados