Verificar que y1(x)=-x^2 é uma solução da equação diferencial seguinte e resolver a equação em ] 0,+infty[ :
[
x^{3} y{\prime}+y{2}+x^{2} y+2 x^{4}=0 .

Passo 1

A equação dada é
x^3y'+y^2+x^2y+2x^4=0
Queremos verificar que y1(x)=-x^2 é solução e, em seguida, encontrar a solução geral em ]0,+infty[. Este problema é um caso de equação de Riccati.

Passo 2

Dividindo por x^3 (como x>0), obtemos a forma padrão:
y'+1xy+1x^3y^2+2x=0
Para checar y1(x)=-x^2, calculamos y1'(x)=-2x e substituímos:
(-2x)+1x(-x^2)+1x^3(-x^2)^2+2x= -2x -x + x +2x=0,
logo y1 satisfaz a equação.

Passo 3

Reconhecemos a estrutura de Riccati y'=P(x)+Q(x)y+R(x)y^2, com
P(x)=-2x,
Q(x)=-1x,
R(x)=-1x^3
Usamos a substituição
y=y1+w,
o que leva, após cancelar os termos de y1, à equação de Bernoulli em w:
w'=l(Q+2R y1r)w+R w^2
Aqui Q+2R y1= -tfrac1x+2l(-tfrac1x^3r)(-x^2)=tfrac1x.

Passo 4

Para eliminar o termo não linear em w, fazemos
w=1u
Isso transforma a equação de Bernoulli em uma equação linear para u:
u'+1xu=1x^3

Passo 5

Resolvendo essa equação linear: o fator integrante é mu(x)=e^integral1/x,dx=x. Multiplicando,
(xu)'=1x^2
Integrando,
xu=-1x+CLongrightarrow u=-1x^2+Cx

Passo 6

Voltando a w=1/u e depois a y=y1+w, temos
w=x^2Cx-1,
y=-x^2+x^2Cx-1= racx^2(2-Cx)Cx-1
Esta é a solução geral em ]0,+infty[.

Resposta

y(x)= x^2(2-Cx)Cx-1, C constante arbitrária.

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