Verificar que
é uma solução da equação diferencial seguinte e resolver a equação em
:
[
x^{3} y{\prime}+y{2}+x^{2} y+2 x^{4}=0 .
x^{3} y{\prime}+y{2}+x^{2} y+2 x^{4}=0 .
Passo 1
A equação dada é
Queremos verificar que
é solução e, em seguida, encontrar a solução geral em
. Este problema é um caso de equação de Riccati.
Passo 2
Dividindo por
(como
), obtemos a forma padrão:
Para checar
, calculamos
e substituímos:
logo
satisfaz a equação.
Passo 3
Reconhecemos a estrutura de Riccati
, com
Usamos a substituição
o que leva, após cancelar os termos de
, à equação de Bernoulli em
:
Aqui
.
Passo 4
Para eliminar o termo não linear em
, fazemos
Isso transforma a equação de Bernoulli em uma equação linear para
:
Passo 5
Resolvendo essa equação linear: o fator integrante é
. Multiplicando,
Integrando,
Passo 6
Voltando a
e depois a
, temos
Esta é a solução geral em
.