Para resolver a equação
numericamente, encontre um intervalo
onde
e
tem sinais diferentes e faça 3 passos do método da falsa posição:
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (i) encontrar um intervalo
em que
e
tenham sinais opostos; (ii) a partir desse intervalo, executar 3 passos do método da falsa posição (regula falsi) para achar aproximações da raiz de
. A função dada é
Informações relevantes fornecidas ou fáceis de obter:
Esses valores nos permitem avaliar
em pontos simples sem calculadora complexa:
O enunciado também pede explicitamente apenas 3 passos do método; não é necessário convergir completamente, só executar as três iterações seguindo as regras do método.
Passo 2
Escolha do intervalo
. Pelo item anterior, como
e
, os pontos
e
formam um intervalo onde
e
têm sinais opostos. Portanto podemos tomar
Motivação prática: escolhemos pontos com valores de
conhecidos para facilitar os cálculos iniciais.
Passo 3
Descrição do método da falsa posição (regula falsi) — a ferramenta que vamos usar, explicada passo-a-passo:
- Partimos de um intervalo
com . - Traçamos a reta secante que liga os pontos
e . A interseção dessa reta com o eixo é a nova aproximação da raiz; chamamos esse ponto de . - A fórmula algébrica dessa interseção é
Explicação da fórmula: a reta entre
e
tem equação
; para encontrar a abscissa onde
isolamos
, obtendo a expressão acima.
- Depois de calcular
, avaliamos . Se paramos (raiz exata), senão substituímos na extremidade cujo valor tem o mesmo sinal de (ou seja, mantemos sempre um extremo com e outro com ), garantindo que o novo intervalo continue bracketing (contendo) uma raiz.
Agora aplicamos isso ao nosso caso, executando 3 iterações completas (cada iteração: calcular
, avaliar
, atualizar o intervalo).
Passo 4
Iteração 1:
- Dados iniciais:
, . - Avaliações conhecidas:
, . - Aplicando a fórmula da falsa posição:
Calcule passo a passo: o denominador é
. Então
Logo
- Avaliando
:
Decisão de atualização:
e
, então substituímos o extremo
por
. O novo intervalo é
Passo 5
Iteração 2:
- Dados:
, . - Valores:
, . - Aplicando a fórmula:
Observação algébrica útil:
Assim
Além disso
. Portanto
Valor numérico:
- Avaliando
. Como está perto de (onde ), podemos estimar rapidamente por uma aproximação linear (expansão de primeira ordem) em torno de , ou simplesmente usar a avaliação numérica direta:
Como
e
, atualizamos
novamente:
Passo 6
Iteração 3:
- Dados:
, . - Valores aproximados:
, . - Aplicando a fórmula:
Substituindo números (mostrando os passos numéricos):
Então
Calculando a fração e o produto obtemos
- Avaliando
: está muito próximo de , logo
Decisão final após o terceiro passo: como
, o novo intervalo seria
, mas como o enunciado pediu somente 3 passos, paramos aqui.
Resposta
Intervalo: