Para resolver a equação f(x)=0 numericamente, encontre um intervalo [a, b] onde f(a) e f(b) tem sinais diferentes e faça 3 passos do método da falsa posição:
(a)
f(x)=\cos (x)-\frac{1}{2}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (i) encontrar um intervalo [a,b] em que f(a) e f(b) tenham sinais opostos; (ii) a partir desse intervalo, executar 3 passos do método da falsa posição (regula falsi) para achar aproximações da raiz de f(x)=0. A função dada é
f(x)=\cos(x)-\tfrac{1}{2}.
Informações relevantes fornecidas ou fáceis de obter:
\cos(0)=1,\qquad \cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0.
Esses valores nos permitem avaliar f em pontos simples sem calculadora complexa:
f(0)=1-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}>0,\qquad f\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=0-\tfrac{1}{2}=-\tfrac{1}{2}<0.
O enunciado também pede explicitamente apenas 3 passos do método; não é necessário convergir completamente, só executar as três iterações seguindo as regras do método.

Passo 2

Escolha do intervalo [a,b]. Pelo item anterior, como f(0)=\tfrac{1}{2}>0 e f\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=-\tfrac{1}{2}<0, os pontos a=0 e b=\tfrac{\pi}{2} formam um intervalo onde f(a) e f(b) têm sinais opostos. Portanto podemos tomar
[a,b]=\bigl[0,\tfrac{\pi}{2}\bigr].
Motivação prática: escolhemos pontos com valores de \cos conhecidos para facilitar os cálculos iniciais.

Passo 3

Descrição do método da falsa posição (regula falsi) — a ferramenta que vamos usar, explicada passo-a-passo:
  • Partimos de um intervalo [a,b] com f(a)\cdot f(b)<0.
  • Traçamos a reta secante que liga os pontos (a,f(a)) e (b,f(b)). A interseção dessa reta com o eixo x é a nova aproximação da raiz; chamamos esse ponto de r.
  • A fórmula algébrica dessa interseção é
r = b - f(b)\,\frac{b-a}{f(b)-f(a)}.
Explicação da fórmula: a reta entre (a,f(a)) e (b,f(b)) tem equação y=f(b)+\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-b); para encontrar a abscissa onde y=0 isolamos x, obtendo a expressão acima.
  • Depois de calcular r, avaliamos f(r). Se f(r)=0 paramos (raiz exata), senão substituímos na extremidade cujo valor tem o mesmo sinal de f(r) (ou seja, mantemos sempre um extremo com f>0 e outro com f<0), garantindo que o novo intervalo continue bracketing (contendo) uma raiz.
Agora aplicamos isso ao nosso caso, executando 3 iterações completas (cada iteração: calcular r, avaliar f(r), atualizar o intervalo).

Passo 4

Iteração 1:
  • Dados iniciais: a_0=0, b_0=\tfrac{\pi}{2}.
  • Avaliações conhecidas: f(a_0)=\tfrac{1}{2}, f(b_0)=-\tfrac{1}{2}.
  • Aplicando a fórmula da falsa posição:
r_1 = b_0 - f(b_0)\,\frac{b_0-a_0}{f(b_0)-f(a_0)} = \tfrac{\pi}{2} - \bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)\,\frac{\tfrac{\pi}{2}-0}{-\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2}}.
Calcule passo a passo: o denominador é -\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2}=-1. Então
r_1 = \tfrac{\pi}{2} - \bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)\frac{\tfrac{\pi}{2}}{-1} = \tfrac{\pi}{2} - \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{\pi}{2}\cdot(-1) = \tfrac{\pi}{2} - \tfrac{\pi}{4} = \tfrac{\pi}{4}.
Logo
r_1=\tfrac{\pi}{4}\approx 0,7853981634.
  • Avaliando f(r_1):
f\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)-\tfrac{1}{2}=\tfrac{\sqrt{2}}{2}-\tfrac{1}{2}\approx 0,2071067812>0.
Decisão de atualização: f(r_1)>0 e f(a_0)>0, então substituímos o extremo a por r_1. O novo intervalo é
[a_1,b_1]=\bigl[\tfrac{\pi}{4},\tfrac{\pi}{2}\bigr].

Passo 5

Iteração 2:
  • Dados: a_1=\tfrac{\pi}{4}, b_1=\tfrac{\pi}{2}.
  • Valores: f(a_1)=\tfrac{\sqrt{2}}{2}-\tfrac{1}{2}\approx 0,2071067812, f(b_1)=-\tfrac{1}{2}.
  • Aplicando a fórmula:
r_2 = b_1 - f(b_1)\,\frac{b_1-a_1}{f(b_1)-f(a_1)}.
Observação algébrica útil: f(b_1)-f(a_1)=-\tfrac{1}{2}-\bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{2}-\tfrac{1}{2}\bigr)=-\tfrac{\sqrt{2}}{2}. Assim
\frac{f(b_1)}{f(b_1)-f(a_1)}=\frac{-\tfrac{1}{2}}{-\tfrac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\tfrac{\sqrt{2}}{2}.
Além disso b_1-a_1=\tfrac{\pi}{2}-\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{\pi}{4}. Portanto
r_2 = \tfrac{\pi}{2} - \tfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\tfrac{\pi}{4} = \tfrac{\pi}{2} - \tfrac{\pi\sqrt{2}}{8} = \frac{\pi(4-\sqrt{2})}{8}.
Valor numérico:
r_2=\frac{\pi(4-\sqrt{2})}{8}\approx 1,0154359640.
  • Avaliando f(r_2). Como r_2 está perto de \tfrac{\pi}{3} (onde \cos=\tfrac{1}{2}), podemos estimar \cos(r_2) rapidamente por uma aproximação linear (expansão de primeira ordem) em torno de \tfrac{\pi}{3}, ou simplesmente usar a avaliação numérica direta:
f(r_2)=\cos(r_2)-\tfrac{1}{2}\approx 0,027256\\ (>0).
Como f(r_2)>0 e f(a_1)>0, atualizamos a novamente:
[a_2,b_2]=[r_2,\tfrac{\pi}{2}].

Passo 6

Iteração 3:
  • Dados: a_2=r_2\approx 1,0154359640, b_2=\tfrac{\pi}{2}\approx 1,5707963268.
  • Valores aproximados: f(a_2)\approx 0,027256, f(b_2)=-\tfrac{1}{2}=-0,5.
  • Aplicando a fórmula:
r_3 = b_2 - f(b_2)\,\frac{b_2-a_2}{f(b_2)-f(a_2)}.
Substituindo números (mostrando os passos numéricos):
b_2-a_2\approx 1,5707963268-1,0154359640 \approx 0,5553603628,
f(b_2)-f(a_2)\approx -0,5 - 0,027256 \approx -0,527256.
Então
r_3 \approx 1,5707963268 - (-0,5)\cdot\frac{0,5553603628}{-0,527256} = 1,5707963268 - \Bigl(\frac{0,5}{0,527256}\Bigr)\cdot 0,5553603628.
Calculando a fração e o produto obtemos
r_3\approx 1,0445719870.
  • Avaliando f(r_3): r_3 está muito próximo de \tfrac{\pi}{3}\approx 1,047197551, logo
f(r_3)=\cos(r_3)-\tfrac{1}{2}\approx 0,002272\\ (>0).
Decisão final após o terceiro passo: como f(r_3)>0, o novo intervalo seria [r_3,\tfrac{\pi}{2}], mas como o enunciado pediu somente 3 passos, paramos aqui.

Resposta

Intervalo: \displaystyle \bigl[0,\tfrac{\pi}{2}\bigr]
r_1=\dfrac{\pi}{4}\approx 0,7853981634
r_2=\dfrac{\pi(4-\sqrt{2})}{8}\approx 1,0154359640
r_3\approx 1,0445719870

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