Para resolver a equação
numericamente, encontre um intervalo
onde
e
tem sinais diferentes e faça 3 passos do método da bissecção:
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: encontrar um intervalo
tal que
e
tenham sinais diferentes (ou seja, um sinal negativo e outro positivo) e, a partir desse intervalo, fazer 3 passos do método da bissecção para localizar a raiz de
. A função dada é
As informações relevantes que já temos: a função é um polinômio (logo contínua em todos os reais) e precisamos de um intervalo inicial com mudança de sinal nas extremidades para aplicar a bissecção.
Passo 2
Encontrar um intervalo com mudança de sinal testando valores simples. Vou testar inteiros próximos:
portanto
.
portanto
.
Como e
, os sinais são diferentes em
. Por ser um polinômio contínuo, existe pelo menos uma raiz em
. Então um intervalo inicial válido é
Como
Passo 3
Regra da bissecção (explicação rápida): dado um intervalo
com
, calculamos o ponto médio
Avaliamos
. Se
achamos a raiz exata. Se
tem o mesmo sinal de
, substituímos
por
(manter o subintervalo com mudança de sinal). Se
tem o mesmo sinal de
, substituímos
por
. Repetimos para aproximar a raiz. Vamos aplicar isso 3 vezes.
Passo 4
Primeiro passo (iteração 1):
Calcular o ponto médio de :
Calcular o ponto médio de
Avaliar
em
:
Colocando em oitavos:
e
, então
Portanto
. Como
, o sinal em
é negativo em
e positivo em
. Novo intervalo após o passo 1:
Passo 5
Segundo passo (iteração 2):
Calcular o ponto médio de :
Calcular o ponto médio de
Avaliar
em
:
Colocando tudo em
:
e
, logo
Portanto
. Como
e
, o novo intervalo após o passo 2 é
Passo 6
Terceiro passo (iteração 3):
Calcular o ponto médio de :
Calcular o ponto médio de
Avaliar
em
:
Converter para denominador
:
e
. Assim
Portanto
. Como
, o novo intervalo após o passo 3 é