Para resolver a equação f(x)=0 numericamente, encontre um intervalo [a, b] onde f(a) e f(b) tem sinais diferentes e faça 3 passos do método da bissecção:
(a)
f(x)=x^{3}-x+1

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: encontrar um intervalo [a,b] tal que f(a) e f(b) tenham sinais diferentes (ou seja, um sinal negativo e outro positivo) e, a partir desse intervalo, fazer 3 passos do método da bissecção para localizar a raiz de f. A função dada é
f(x)=x^{3}-x+1.
As informações relevantes que já temos: a função é um polinômio (logo contínua em todos os reais) e precisamos de um intervalo inicial com mudança de sinal nas extremidades para aplicar a bissecção.

Passo 2

Encontrar um intervalo com mudança de sinal testando valores simples. Vou testar inteiros próximos:
f(-2)=(-2)^{3}-(-2)+1=-8+2+1=-5,
portanto f(-2)=-5<0.
f(-1)=(-1)^{3}-(-1)+1=-1+1+1=1,
portanto f(-1)=1>0.
Como f(-2)<0 e f(-1)>0, os sinais são diferentes em [-2,-1]. Por ser um polinômio contínuo, existe pelo menos uma raiz em [-2,-1]. Então um intervalo inicial válido é
[a,b]=[-2,-1].

Passo 3

Regra da bissecção (explicação rápida): dado um intervalo [a,b] com f(a)\cdot f(b)<0, calculamos o ponto médio
m=\frac{a+b}{2}.
Avaliamos f(m). Se f(m)=0 achamos a raiz exata. Se f(m) tem o mesmo sinal de f(a), substituímos a por m (manter o subintervalo com mudança de sinal). Se f(m) tem o mesmo sinal de f(b), substituímos b por m. Repetimos para aproximar a raiz. Vamos aplicar isso 3 vezes.

Passo 4

Primeiro passo (iteração 1):
Calcular o ponto médio de [-2,-1]:
m_{1}=\frac{-2+(-1)}{2}=\frac{-3}{2}=-1{,}5.
Avaliar f em m_{1}:
f\!\left(-\tfrac{3}{2}\right)=\left(-\tfrac{3}{2}\right)^{3}-\left(-\tfrac{3}{2}\right)+1=-\tfrac{27}{8}+\tfrac{3}{2}+1.
Colocando em oitavos: \tfrac{3}{2}=\tfrac{12}{8} e 1=\tfrac{8}{8}, então
f\!\left(-\tfrac{3}{2}\right)=-\tfrac{27}{8}+\tfrac{12}{8}+\tfrac{8}{8}=-\tfrac{7}{8}.
Portanto f\!\left(-\tfrac{3}{2}\right)=-\tfrac{7}{8}<0. Como f(-1)=1>0, o sinal em \left[-\tfrac{3}{2},-1\right] é negativo em -\tfrac{3}{2} e positivo em -1. Novo intervalo após o passo 1:
\left[a_{1},b_{1}\right]=\left[-\tfrac{3}{2},-1\right].

Passo 5

Segundo passo (iteração 2):
Calcular o ponto médio de \left[-\tfrac{3}{2},-1\right]:
m_{2}=\frac{-\tfrac{3}{2}+(-1)}{2}=\frac{-\tfrac{3}{2}-1}{2}=\frac{-\tfrac{5}{2}}{2}=-\tfrac{5}{4}=-1{,}25.
Avaliar f em m_{2}:
f\!\left(-\tfrac{5}{4}\right)=\left(-\tfrac{5}{4}\right)^{3}-\left(-\tfrac{5}{4}\right)+1=-\tfrac{125}{64}+\tfrac{5}{4}+1.
Colocando tudo em \tfrac{1}{64}: \tfrac{5}{4}=\tfrac{80}{64} e 1=\tfrac{64}{64}, logo
f\!\left(-\tfrac{5}{4}\right)=-\tfrac{125}{64}+\tfrac{80}{64}+\tfrac{64}{64}=\tfrac{19}{64}.
Portanto f\!\left(-\tfrac{5}{4}\right)=\tfrac{19}{64}>0. Como f\!\left(-\tfrac{3}{2}\right)<0 e f\!\left(-\tfrac{5}{4}\right)>0, o novo intervalo após o passo 2 é
\left[a_{2},b_{2}\right]=\left[-\tfrac{3}{2},-\tfrac{5}{4}\right].

Passo 6

Terceiro passo (iteração 3):
Calcular o ponto médio de \left[-\tfrac{3}{2},-\tfrac{5}{4}\right]:
m_{3}=\frac{-\tfrac{3}{2}+(-\tfrac{5}{4})}{2}=\frac{-\tfrac{6}{4}-\tfrac{5}{4}}{2}=\frac{-\tfrac{11}{4}}{2}=-\tfrac{11}{8}=-1{,}375.
Avaliar f em m_{3}:
f\!\left(-\tfrac{11}{8}\right)=\left(-\tfrac{11}{8}\right)^{3}-\left(-\tfrac{11}{8}\right)+1=-\tfrac{1331}{512}+\tfrac{11}{8}+1.
Converter para denominador 512: \tfrac{11}{8}=\tfrac{704}{512} e 1=\tfrac{512}{512}. Assim
f\!\left(-\tfrac{11}{8}\right)=-\tfrac{1331}{512}+\tfrac{704}{512}+\tfrac{512}{512}=-\tfrac{115}{512}.
Portanto f\!\left(-\tfrac{11}{8}\right)=-\tfrac{115}{512}<0. Como f\!\left(-\tfrac{5}{4}\right)>0, o novo intervalo após o passo 3 é
\left[a_{3},b_{3}\right]=\left[-\tfrac{11}{8},-\tfrac{5}{4}\right].

Resposta

[-2,-1]
[-11/8,-5/4]

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