Para resolver a equação f(x)=0 numericamente, encontre um intervalo [a, b] onde f(a) e f(b) tem sinais diferentes e faça 3 passos do método da bissecção:
(b)
f(x)=e^{x}-2

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) encontrar um intervalo [a,b] onde f(a) e f(b) têm sinais diferentes; (2) efetuar 3 passos do método da bissecção para a função
f(x)=e^{x}-2.
Informações dadas: a função f é \,f(x)=e^{x}-2 e precisamos executar exatamente 3 iterações da bissecção a partir de algum intervalo inicial onde haja mudança de sinal.

Passo 2

Vamos testar valores simples para achar um intervalo com sinais opostos. Calculo f em x=0 e x=1.
f(0)=e^{0}-2=1-2=-1,
f(1)=e^{1}-2=e-2\approx 2{,}718281828-2\approx 0{,}718281828.
Como f(0)=-1<0 e f(1)\approx 0{,}718>0, os sinais são opostos. Portanto podemos escolher como intervalo inicial
[a,b]=[0,1].
(Comentário rápido: sinais opostos no intervalo contínuo implicam existência de uma raiz dentro do intervalo — isso é o que justificou nossa escolha.)

Passo 3

Explicando o método da bissecção, passo a passo, para você saber exatamente o que fazer na prova:
  • Dado um intervalo [a,b] com f(a) e f(b) de sinais contrários, calcule o ponto médio
c=\frac{a+b}{2}.
  • Avalie f\text{(c)}.
    • Se f\text{(c)}=0 (ou muito próximo de zero), então c é a raiz.
    • Se f\text{(c)} tem o mesmo sinal que f(a), então a raiz fica no subintervalo [c,b].
    • Se f\text{(c)} tem o mesmo sinal que f(b), então a raiz fica no subintervalo [a,c].
  • Repita o processo no subintervalo que contém a raiz. Cada iteração reduz o tamanho do intervalo pela metade.
Agora aplicamos esse procedimento 3 vezes, com cálculos explicados.

Passo 4

Iteração 1:
Calcule o ponto médio do intervalo inicial [0,1]:
c_1=\frac{0+1}{2}=0{,}5.
Avalie f(c_1):
f(0{,}5)=e^{0{,}5}-2\approx 1{,}648721271-2\approx -0{,}351278729.
Resultado: f(c_1)<0 e f(1)>0. Então a mudança de sinal está em [0{,}5,\,1]. Novo intervalo:
[0{,}5,\,1].

Passo 5

Iteração 2:
Ponto médio do novo intervalo [0{,}5,\,1]:
c_2=\frac{0{,}5+1}{2}=0{,}75.
Avalie f(c_2):
f(0{,}75)=e^{0{,}75}-2\approx 2{,}117000017-2\approx 0{,}117000017.
Resultado: f(c_2)>0 e f(0{,}5)<0. A mudança de sinal fica então em [0{,}5,\,0{,}75]. Novo intervalo:
[0{,}5,\,0{,}75].

Passo 6

Iteração 3:
Ponto médio do intervalo [0{,}5,\,0{,}75]:
c_3=\frac{0{,}5+0{,}75}{2}=0{,}625.
Avalie f(c_3):
f(0{,}625)=e^{0{,}625}-2\approx 1{,}868245957-2\approx -0{,}131754043.
Resultado: f(c_3)<0 e f(0{,}75)>0. Assim a raiz está no subintervalo [0{,}625,\,0{,}75] após a terceira iteração.

Resposta

[a,b]=[0,1]
1ª iteração: c_1=0{,}5, intervalo [0{,}5,\,1]
2ª iteração: c_2=0{,}75, intervalo [0{,}5,\,0{,}75]
3ª iteração: c_3=0{,}625, intervalo [0{,}625,\,0{,}75]

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