Para resolver a equação
numericamente, escolha dois pontos
e
iniciais e faça 3 passos do método da secante:
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede que eu escolha dois pontos iniciais
e
e execute 3 passos do método da secante para encontrar numericamente uma raiz da função
Informações relevantes dadas:
.
Vou escolher os pontos iniciais (minha escolha) e
.
A partir desses dois pontos devo aplicar o método da secante por três iterações para obter três novas aproximações da raiz.
Vou escolher os pontos iniciais (minha escolha)
A partir desses dois pontos devo aplicar o método da secante por três iterações para obter três novas aproximações da raiz.
Passo 2
O que é o método da secante e qual a fórmula que vou usar (explicação didática).
O método da secante aproxima a raiz de usando a reta que passa pelos pontos
e
e toma a interseção dessa reta com o eixo
como a próxima aproximação
. A ideia é: em vez de usar a derivada (como em Newton), usamos a inclinação aproximada dada por dois pontos já conhecidos.
O método da secante aproxima a raiz de
A fórmula de iteração é
Aqui:
-
e são as duas últimas aproximações que já temos; -
e são os valores da função nesses pontos; -
é a nova aproximação obtida pela interseção da secante com o eixo .
Observação prática para a prova: sempre verifique que
(senão o denominador some). Calcule passo a passo os numeradores e denominadores como frações para evitar erros de arredondamento.
Passo 3
Cálculo de
nos pontos iniciais
e
(contas detalhadas).
Calculo :
Calculo
Passo a passo:
Portanto
.
Calculo
:
Portanto
.
Já verificamos que
, então podemos aplicar a fórmula da secante.
Passo 4
Primeira iteração: calcular
usando
e
.
Aplicando a fórmula com ,
,
,
:
Aplicando a fórmula com
Calculemos:
Logo a primeira nova aproximação é
.
Passo 5
Calcular
com detalhamento.
Use a função .
Primeiro calcule potências:
Use a função
Primeiro calcule potências:
Agora:
Calcule termo a termo:
Portanto
.
Passo 6
Segunda iteração: calcular
usando
e
.
Aplicando a fórmula com ,
,
,
:
Aplicando a fórmula com
Calcule passo a passo:
Então o termo de correção é
Logo
Portanto
.
Passo 7
Calcular
com frações e denominação comum.
Use . Calcule potências e termos em frações:
Use
Agora
Colocando tudo sobre o mesmo denominador
(pois
e
):
Somando:
Calcule o numerador:
Portanto
Passo 8
Terceira iteração: calcular
usando
e
.
Aplicando a fórmula com ,
,
,
:
Aplicando a fórmula com
Calcule os componentes:
O numerador do termo de correção é
O denominador é
Para somar como frações, use denominador comum
:
Agora a razão numerador/denominador é
Simplifique
. Dividindo numerador e denominador por
obtemos
Portanto a razão fica
Esse valor é o termo de correção
. Observe que é negativo, então
(correção) resulta em adicionar o módulo.
Agora calcule
:
Simplificando a fração: divida numerador e denominador por
:
Divida agora por
(ambos divisíveis por
):
Não há fator comum óbvio entre
e
, então a fração está reduzida. Em decimal isso dá aproximadamente
.
Portanto a terceira nova aproximação é
.