Para resolver a equação f(x)=0 numericamente, escolha dois pontos a e b iniciais e faça 3 passos do método da secante:
(a)
f(x)=x^{4}-2 x^{2}+x+1

Passo 1

O enunciado pede que eu escolha dois pontos iniciais a e b e execute 3 passos do método da secante para encontrar numericamente uma raiz da função
f(x)=x^{4}-2x^{2}+x+1.
Informações relevantes dadas:
\;f(x)=x^{4}-2x^{2}+x+1.
Vou escolher os pontos iniciais (minha escolha) \;a=-1 e \;b=0.
A partir desses dois pontos devo aplicar o método da secante por três iterações para obter três novas aproximações da raiz.

Passo 2

O que é o método da secante e qual a fórmula que vou usar (explicação didática).
O método da secante aproxima a raiz de f usando a reta que passa pelos pontos (x_{n-1},f(x_{n-1})) e (x_n,f(x_n)) e toma a interseção dessa reta com o eixo x como a próxima aproximação x_{n+1}. A ideia é: em vez de usar a derivada (como em Newton), usamos a inclinação aproximada dada por dois pontos já conhecidos.
A fórmula de iteração é
x_{n+1} = x_n - f(x_n)\,\frac{x_n-x_{n-1}}{f(x_n)-f(x_{n-1})}.
Aqui:
  • x_{n-1} e x_n são as duas últimas aproximações que já temos;
  • f(x_{n-1}) e f(x_n) são os valores da função nesses pontos;
  • x_{n+1} é a nova aproximação obtida pela interseção da secante com o eixo x.
Observação prática para a prova: sempre verifique que f(x_n)-f(x_{n-1})\neq 0 (senão o denominador some). Calcule passo a passo os numeradores e denominadores como frações para evitar erros de arredondamento.

Passo 3

Cálculo de f nos pontos iniciais \;a=-1 e \;b=0 (contas detalhadas).
Calculo f(-1):
f(-1)=(-1)^{4}-2(-1)^{2}+(-1)+1.
Passo a passo:
(-1)^{4}=1,\quad (-1)^{2}=1\Rightarrow -2(-1)^{2}=-2,
f(-1)=1-2-1+1= -1.
Portanto \;f(-1)=-1.
Calculo f(0):
f(0)=0^{4}-2\cdot0^{2}+0+1=1.
Portanto \;f(0)=1.
Já verificamos que f(0)-f(-1)=1-(-1)=2\neq0, então podemos aplicar a fórmula da secante.

Passo 4

Primeira iteração: calcular x_2 usando x_0=a=-1 e x_1=b=0.
Aplicando a fórmula com x_{n-1}=-1, x_n=0, f(x_{n-1})=-1, f(x_n)=1:
x_2 = x_1 - f(x_1)\,\frac{x_1-x_0}{f(x_1)-f(x_0)} = 0 - 1\cdot\frac{0-(-1)}{1-(-1)}.
Calculemos:
0-(-1)=1,\qquad 1-(-1)=2,
x_2 = 0 - 1\cdot\frac{1}{2} = -\frac{1}{2}.
Logo a primeira nova aproximação é \;x_2 = -\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Calcular f(x_2)=f\big(-\tfrac{1}{2}\big) com detalhamento.
Use a função \;f(x)=x^{4}-2x^{2}+x+1.
Primeiro calcule potências:
\left(-\tfrac{1}{2}\right)^{2}=\tfrac{1}{4},\qquad \left(-\tfrac{1}{2}\right)^{4}=\left(\tfrac{1}{4}\right)^{2}=\tfrac{1}{16}.
Agora:
f\big(-\tfrac{1}{2}\big)=\tfrac{1}{16}-2\cdot\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{2}+1.
Calcule termo a termo:
-2\cdot\tfrac{1}{4}=-\tfrac{1}{2},
\tfrac{1}{16}-\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{2}+1=\tfrac{1}{16}-1+1=\tfrac{1}{16}.
Portanto \;f\big(-\tfrac{1}{2}\big)=\tfrac{1}{16}.

Passo 6

Segunda iteração: calcular x_3 usando x_1=0 e x_2=-\tfrac{1}{2}.
Aplicando a fórmula com x_{n-1}=0, x_n=-\tfrac{1}{2}, f(x_{n-1})=1, f(x_n)=\tfrac{1}{16}:
x_3 = x_2 - f(x_2)\,\frac{x_2-x_1}{f(x_2)-f(x_1)} = -\tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{16}\cdot\frac{-\tfrac{1}{2}-0}{\tfrac{1}{16}-1}.
Calcule passo a passo:
x_2-x_1=-\tfrac{1}{2},\qquad \tfrac{1}{16}-1=-\tfrac{15}{16}.
Então o termo de correção é
\tfrac{1}{16}\cdot\frac{-\tfrac{1}{2}}{-\tfrac{15}{16}}=\frac{-1}{32}\cdot\left(-\frac{16}{15}\right)=\frac{1}{30}.
Logo
x_3 = -\tfrac{1}{2} - \frac{1}{30} = -\frac{15}{30}-\frac{1}{30}=-\frac{16}{30}=-\frac{8}{15}.
Portanto \;x_3=-\tfrac{8}{15}.

Passo 7

Calcular f(x_3)=f\big(-\tfrac{8}{15}\big) com frações e denominação comum.
Use x=-\tfrac{8}{15}. Calcule potências e termos em frações:
x^{2}=\frac{64}{225},\qquad x^{4}=\frac{4096}{50625}.
Agora
f(x)=x^{4}-2x^{2}+x+1 =\frac{4096}{50625}-2\cdot\frac{64}{225}-\frac{8}{15}+1.
Colocando tudo sobre o mesmo denominador 50625 (pois 225\cdot225=50625 e 15\cdot3375=50625):
-2\cdot\frac{64}{225}=-\frac{128}{225}=-\frac{128\cdot225}{50625}=-\frac{28800}{50625},
-\frac{8}{15}=-\frac{8\cdot3375}{50625}=-\frac{27000}{50625},
1=\frac{50625}{50625}.
Somando:
\frac{4096}{50625}-\frac{28800}{50625}-\frac{27000}{50625}+\frac{50625}{50625} =\frac{4096-28800-27000+50625}{50625}.
Calcule o numerador:
4096-28800-27000+50625=54721-55800=-1079.
Portanto
f\big(-\tfrac{8}{15}\big)=-\frac{1079}{50625}\approx -0,02131.

Passo 8

Terceira iteração: calcular x_4 usando x_2=-\tfrac{1}{2} e x_3=-\tfrac{8}{15}.
Aplicando a fórmula com x_{n-1}= -\tfrac{1}{2}, x_n=-\tfrac{8}{15}, f(x_{n-1})=\tfrac{1}{16}, f(x_n)=-\tfrac{1079}{50625}:
x_4 = x_3 - f(x_3)\,\frac{x_3-x_2}{f(x_3)-f(x_2)}.
Calcule os componentes:
x_3-x_2=-\tfrac{8}{15}-\left(-\tfrac{1}{2}\right)=-\tfrac{8}{15}+\tfrac{1}{2}=-\tfrac{1}{30}.
O numerador do termo de correção é
f(x_3)(x_3-x_2)=\left(-\frac{1079}{50625}\right)\left(-\frac{1}{30}\right)=\frac{1079}{1518750}.
O denominador é
f(x_3)-f(x_2)=-\frac{1079}{50625}-\frac{1}{16}.
Para somar como frações, use denominador comum 50625\cdot16=810000:
-\frac{1079}{50625}=-\frac{1079\cdot16}{810000}=-\frac{17264}{810000},
\frac{1}{16}=\frac{50625}{810000},
f(x_3)-f(x_2)=-\frac{17264}{810000}-\frac{50625}{810000}=-\frac{67889}{810000}.
Agora a razão numerador/denominador é
\frac{\dfrac{1079}{1518750}}{-\dfrac{67889}{810000}} =\frac{1079}{1518750}\cdot\frac{810000}{-67889}.
Simplifique \dfrac{810000}{1518750}. Dividindo numerador e denominador por 1250 obtemos
\frac{810000}{1518750}=\frac{648}{1215}=\frac{72}{135}=\frac{8}{15}.
Portanto a razão fica
\frac{1079}{1}\cdot\frac{8}{15}\cdot\frac{1}{-67889}=-\frac{8632}{1018335}.
Esse valor é o termo de correção =\dfrac{f(x_3)(x_3-x_2)}{f(x_3)-f(x_2)}. Observe que é negativo, então x_4=x_3- (correção) resulta em adicionar o módulo.
Agora calcule x_4:
x_3=-\frac{8}{15}=-\frac{8\cdot67889}{15\cdot67889}=-\frac{543112}{1018335},
x_4 = -\frac{543112}{1018335} -\left(-\frac{8632}{1018335}\right) = -\frac{543112}{1018335} + \frac{8632}{1018335} = -\frac{543112-8632}{1018335} = -\frac{534480}{1018335}.
Simplificando a fração: divida numerador e denominador por 5:
-\frac{534480}{1018335}=-\frac{106896}{203667}.
Divida agora por 3 (ambos divisíveis por 3):
-\frac{106896}{203667}=-\frac{35632}{67889}.
Não há fator comum óbvio entre 35632 e 67889, então a fração está reduzida. Em decimal isso dá aproximadamente x_4\approx -0{,}524857.
Portanto a terceira nova aproximação é \;x_4=-\dfrac{35632}{67889}.

Resposta

-\dfrac{1}{2}
-\dfrac{8}{15}
-\dfrac{35632}{67889}

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