Para resolver a equação
numericamente, encontre um intervalo
onde
e
tem sinais diferentes e faça 3 passos do método da falsa posição:
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: encontrar um intervalo
tal que
e
tenham sinais diferentes, e depois executar 3 passos do método da falsa posição (regula falsi) para aproximar uma raiz de
Informações relevantes dadas: a expressão explícita de
. Não há outras condições (por exemplo tolerância), então vamos escolher um intervalo simples com mudança de sinal e aplicar 3 iterações da falsa posição.
Passo 2
Escolher um intervalo com sinais opostos: testar valores inteiros simples é a forma mais direta. Vou calcular
em alguns pontos:
Aqui eu peguei os valores diretamente calculando as potências e somas. Note que
e
, portanto já temos um intervalo onde os sinais são diferentes:
. Vou usar
como intervalo inicial.
Passo 3
Explicar o método da falsa posição (regula falsi) — fórmula e ideia.
- Ideia: aproximamos a raiz por uma reta que liga os pontos
e e tomamos a interseção dessa reta com o eixo como novo ponto aproximado. Isso é parecido com a secante, mas mantendo um intervalo com mudança de sinal. - Fórmula (ponto de interseção da reta):
Aqui
e
são os extremos atuais do intervalo e
seus valores;
é a abscissa onde a reta passa por
.
Depois de calcular avaliamos
. Se
encontramos a raiz; se
tem sinal oposto a
substituímos
por
, senão se tem sinal oposto a
substituímos
por
. Assim mantemos sempre um intervalo com sinais opostos.
Depois de calcular
Agora aplicamos essa fórmula 3 vezes, mostrando contas passo a passo.
Passo 4
Primeira iteração (iteração 1):
- Dados iniciais:
, , , . - Aplicando a fórmula:
- Avaliar
. Usando :
Calculemos racionalmente:
,
, e
. Colocando tudo sobre denominador
:
- Conclusão da iteração 1:
. Como e , o novo intervalo com mudança de sinal é
Passo 5
Segunda iteração (iteração 2):
- Agora
, , , . - Aplicando a fórmula:
Calculemos o numerador e denominador separadamente:
Logo
- Avaliar
(aqui uso aproximação decimal para a avaliação):
(foi obtido avaliando numericamente
em
.)
- Conclusão da iteração 2:
, portanto o novo intervalo é
Passo 6
Terceira iteração (iteração 3):
- Agora
, , , . - Aplicando a fórmula (usar valores decimais para facilitar):
Calculemos numericamente:
- Avaliar
aproximadamente:
- Conclusão da iteração 3:
, então o intervalo após 3 passos é