Para resolver a equação f(x)=0 numericamente, encontre um intervalo [a, b] onde f(a) e f(b) tem sinais diferentes e faça 3 passos do método da falsa posição:
(b)
f(x)=x^{5}-x^{2}+x+1

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: encontrar um intervalo [a,b] tal que f(a) e f(b) tenham sinais diferentes, e depois executar 3 passos do método da falsa posição (regula falsi) para aproximar uma raiz de
f(x)=x^{5}-x^{2}+x+1.
Informações relevantes dadas: a expressão explícita de f(x). Não há outras condições (por exemplo tolerância), então vamos escolher um intervalo simples com mudança de sinal e aplicar 3 iterações da falsa posição.

Passo 2

Escolher um intervalo com sinais opostos: testar valores inteiros simples é a forma mais direta. Vou calcular f em alguns pontos:
f(-2)=(-2)^{5}-(-2)^{2}+(-2)+1=-32-4-2+1=-37,
f(-1)=(-1)^{5}-(-1)^{2}+(-1)+1=-1-1-1+1=-2,
f(0)=0^{5}-0^{2}+0+1=1.
Aqui eu peguei os valores diretamente calculando as potências e somas. Note que f(-1)=-2<0 e f(0)=1>0, portanto já temos um intervalo onde os sinais são diferentes: [-1,0]. Vou usar [a,b]=[-1,0] como intervalo inicial.

Passo 3

Explicar o método da falsa posição (regula falsi) — fórmula e ideia.
  • Ideia: aproximamos a raiz por uma reta que liga os pontos (a,f(a)) e (b,f(b)) e tomamos a interseção dessa reta com o eixo x como novo ponto aproximado. Isso é parecido com a secante, mas mantendo um intervalo com mudança de sinal.
  • Fórmula (ponto de interseção da reta):
c=\frac{a\,f(b)-b\,f(a)}{f(b)-f(a)}.
Aqui a e b são os extremos atuais do intervalo e f(a),f(b) seus valores; c é a abscissa onde a reta passa por y=0.
Depois de calcular c avaliamos f\text{(c)}. Se f\text{(c)}=0 encontramos a raiz; se f\text{(c)} tem sinal oposto a f(a) substituímos b por c, senão se tem sinal oposto a f(b) substituímos a por c. Assim mantemos sempre um intervalo com sinais opostos.
Agora aplicamos essa fórmula 3 vezes, mostrando contas passo a passo.

Passo 4

Primeira iteração (iteração 1):
  • Dados iniciais: a=-1, b=0, f(a)=-2, f(b)=1.
  • Aplicando a fórmula:
c_{1}=\frac{(-1)\cdot 1 - 0\cdot(-2)}{1-(-2)}=\frac{-1}{3}=-\tfrac{1}{3}.
  • Avaliar f(c_{1}). Usando c_{1}=-\tfrac{1}{3}:
f\bigl(-\tfrac{1}{3}\bigr)=\bigl(-\tfrac{1}{3}\bigr)^{5}-\bigl(-\tfrac{1}{3}\bigr)^{2}+\bigl(-\tfrac{1}{3}\bigr)+1.
Calculemos racionalmente: \bigl(-\tfrac{1}{3}\bigr)^{5}=-\tfrac{1}{243}, \bigl(-\tfrac{1}{3}\bigr)^{2}=\tfrac{1}{9}, e \bigl(-\tfrac{1}{3}\bigr)=-\tfrac{1}{3}. Colocando tudo sobre denominador 243:
f\bigl(-\tfrac{1}{3}\bigr)= -\tfrac{1}{243}-\tfrac{27}{243}-\tfrac{81}{243}+\tfrac{243}{243}=\tfrac{134}{243}\approx 0,551441.
  • Conclusão da iteração 1: f(c_{1})=\tfrac{134}{243}>0. Como f(a)=-2<0 e f(c_{1})>0, o novo intervalo com mudança de sinal é
[a,b]=\bigl[-1,\,-\tfrac{1}{3}\bigr].

Passo 5

Segunda iteração (iteração 2):
  • Agora a=-1, b=-\tfrac{1}{3}, f(a)=-2, f(b)=\tfrac{134}{243}.
  • Aplicando a fórmula:
c_{2}=\frac{a\,f(b)-b\,f(a)}{f(b)-f(a)} =\frac{(-1)\cdot\frac{134}{243}-\bigl(-\tfrac{1}{3}\bigr)\cdot(-2)}{\frac{134}{243}-(-2)}.
Calculemos o numerador e denominador separadamente:
\text{num}=-\frac{134}{243}-\frac{2}{3}=-\frac{134}{243}-\frac{162}{243}=-\frac{296}{243},
\text{den}=\frac{134}{243}+2=\frac{134}{243}+\frac{486}{243}=\frac{620}{243}.
Logo
c_{2}=\frac{-\tfrac{296}{243}}{\tfrac{620}{243}}=-\frac{296}{620}=-\frac{74}{155}\approx -0,477419.
  • Avaliar f(c_{2}) (aqui uso aproximação decimal para a avaliação):
f\bigl(-\tfrac{74}{155}\bigr)\approx 0,269844\quad(\text{positivo}).
(foi obtido avaliando numericamente x^{5}-x^{2}+x+1 em x=-0,477419.)
  • Conclusão da iteração 2: f(c_{2})>0, portanto o novo intervalo é
[a,b]=\bigl[-1,\,-\tfrac{74}{155}\bigr].

Passo 6

Terceira iteração (iteração 3):
  • Agora a=-1, b=-\tfrac{74}{155}\approx -0,477419, f(a)=-2, f(b)\approx 0,269844.
  • Aplicando a fórmula (usar valores decimais para facilitar):
c_{3}=\frac{a\,f(b)-b\,f(a)}{f(b)-f(a)} =\frac{(-1)\cdot 0,269844 - (-0,477419)\cdot(-2)}{0,269844-(-2)}.
Calculemos numericamente:
\text{num}\approx -0,269844 - 0,954839 = -1,224683,
\text{den}\approx 0,269844 + 2 = 2,269844,
c_{3}\approx \frac{-1,224683}{2,269844}\approx -0,539495.
  • Avaliar f(c_{3}) aproximadamente:
f(-0,539495)\approx 0,123756\quad(\text{positivo}).
  • Conclusão da iteração 3: f(c_{3})>0, então o intervalo após 3 passos é
[a,b]=\bigl[-1,\,-0,539495\bigr].

Resposta

[-1,0]
c_{1}=-\tfrac{1}{3},\; f(c_{1})=\tfrac{134}{243}\approx 0,551441
c_{2}=-\tfrac{74}{155}\approx -0,477419,\; f(c_{2})\approx 0,269844
c_{3}\approx -0,539495,\; f(c_{3})\approx 0,123756

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