Uma solução implícita da equação diferencial cos (y) d yd x=(-1-2x) sen(y) é:
a) ln (sen(y))=-x-2 ln (x)+C
b) ln (cos (y))=x-ln (x)+C
c) sen(y)=-x-2 x^-2+C
d) cos (x)=x-2 ln (x) sen(x)+C
e) ln (sen(x))=-2 ln (x) y+C
square

Passo 1

O enunciado pede encontrar uma solução implícita para a equação diferencial cos(y),dydx = l(-1 - tfrac2xr),sin(y). O conteúdo envolve EDOs separáveis e integração de funções trigonométricas e logarítmicas.

Passo 2

Reescrevemos a equação para separar as variáveis y e x. Dividindo ambos os lados por sin(y)cos(y) e multiplicando por dx, obtemos a separação
integral cos(y)sin(y),dy = integral -l(1 + tfrac2xr),dx

Passo 3

Na integral do lado esquerdo, reconhecemos que cos(y),dy = dl(sin(y)r). Logo,
integral cos(y)sin(y),dy = integral d(sin(y))sin(y) = lnl|sin(y)r|

Passo 4

No lado direito, quebramos a integral em duas partes:
integral -l(1 + tfrac2xr),dx = -integral dx - 2integral dxx = -x - 2lnl|xr|

Passo 5

Combinando as duas integrais e absorvendo os valores absolutos na constante C, obtemos a solução implícita
ln(sin(y)) = -x - 2ln(x) + C

Resposta

a) ln(sen(y)) = -x - 2 ln(x) + C

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