Resolver as equações diferenciais de primeira ordem:
(y-x) d x+(y+x) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
(y - x),dx + (y + x),dy = 0
Isso é um caso clássico de equação exata. Vamos identificar
P(x,y) = y - x, Q(x,y) = y + x
e verificar se existe uma função potencial F(x,y) tal que
partial Fpartial x = P e partial Fpartial y = Q

Passo 2

Verificamos a exatidão conferindo se
partial Ppartial y ;=; partialpartial y(y - x) ;=; 1
é igual a
partial Qpartial x ;=; partialpartial x(y + x) ;=; 1
Como partial P/partial y = partial Q/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos F(x,y) integrando P em relação a x:
F(x,y) = integral (y - x),dx = y,x - tfracx^22 + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y.

Passo 4

Para determinar h(y), usamos a condição
partial Fpartial y = x + h'(y) stackrel!= Q(x,y) = y + x
Isto dá h'(y)=y, logo
h(y)=integral y,dy=tfracy^22
Portanto
F(x,y) = y,x-tfracx^22+tfracy^22

Resposta

A solução geral, dada por F(x,y)=C, é
y,x-x^22+y^22=C,
onde C é constante arbitrária.

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